等底等高的两个三角形等底等高的三角形图形

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明

例一：如图所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D，PE⊥AC点E，若△ABC的面积为14。问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由。

解：三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。

由已知：AB=AC=8，S(△ABC)=14，得

S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=14

1/2*8*(PD+PE)=14

PD+PE=14/4=3.5

即 PD+PE=3.5

这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。结论虽简单，我们又应当如何证明呢？

关于这道题的证明方法有很多种。

求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC 求证： DE＋DF＝BH

证法一：

连接AD

则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2

而△ABC的面积＝BH*AC/2

所以：DE＋DF＝BH

即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高

证法二：

作DG⊥BH，垂足为G

因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC

所以四边形DGHF是矩形

所以GH＝DF

因为AB＝AC

所以∠EBD＝∠C

因为GD//AC

所以∠GDB＝∠C

所以∠EBD＝∠GDB

又因为BD＝BD

所以△BDE≌△DBG（ASA）

所以DE＝BG

所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH

证法三：

提示：

过B作直线DF的垂线，垂足为M

运用全等三角形同样可证

另外运用三角函数也能进行证明

如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DE－DF|＝BH

问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。

如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的

如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边ABACBC(或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。

解答提示：

如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG

先证明PD＋PE＝HQ

（见：）

而HQ＝AN，FP＝MN

所以PD＋PE－PF

＝AN－PF

＝AM＋MN－PF

＝AM

即h1＋h2－h3＝h

另外一个变式问题：

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。

（1）当∠A＝30°时，求证：PE+PF＝BC

（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。

腰长5厘米底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=

解：

作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA

因为AB＝AC＝5，BC＝6

所以BM＝CM＝3

所以根据勾股定理得AM＝4

因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12

所以h＝24/5

因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP

＝AB*PD/2＋AC*PE/2

所以5*PD/2＋5*PE/2＝12

所以PD＋PE＝24/5

如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。

解：

设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP 因为AB＝8，BC＝AD＝15

所以根据勾股定理得BD＝17

因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2

所以可得AE＝120/17

因为四边形ABCD是矩形

所以OA＝OD

因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD

＝OA*PM/2＋OD*PN/2

＝（PM＋PN）*OD/2

S△OAD＝AE*OD/2

所以PM＋PN＝AE＝120/17

例谈“三角形同底等高等积法”的妙用

　　利用三角形的同底等高将一个三角形转化成等面积的三角形，这是很有用的等积转化模型.如图，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，D在直线m上，S△ABC=S△ABD.通常借助平行线，构造同底等高的模型，灵活进行等积转化，巧妙解决实际问题.下面提供几例，以飨读者.

　　一、将五边形转化成等积四边形

　　例1 如图1，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点

　　M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积.

　　解析如图2，连EC，将五边形ABCDE转化成一个四边形ABCE和一个△ECD，过点D作DF∥EC交BC延长线于点F，连接EF，利用同底等高的模型将△ECD转化成等面积的△ECF，则四边形ABFE即为所要求的等积四边形.

　　例2 如图3，折线EFG把四边形ABCD分成了两部分，请将折线EFG改成线段，并保持原四边形ABCD被分成的两部分面积不变.

　　解析一道应用问题，本质与例1相似，将左边的五边形ABGFE转化成一个等积的四边形即可，方法同例1.

　　二、等分任意多边形的面积

　　例3 如图4，张大爷家有一块四边形菜地，在A处有一口井，张大爷想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，已知AD　　解析这是一道将四边形面积等分实际应用题，利用同底等高等积法可以将任意多边形面积等分，现以五边形ABCDE为例（如图5）.

　　1.连接对角线AC，过点B作BF∥AC交DC延长线于F，连接AF，将五边形

　　转化成四边形AFDE（如图6）.

　　2.连接四边形AFDE对角线AD，按照1的步骤，将四边形AFDE转化成△AFG（如图7）.

　　3.作△AFG的中线AH，则可等分五边形ABCDE面积.

　　三、作任意四边形黄金分割线

　　【参考文献】

　　[1]赵永苓.探索黄金分割线的教学设计.初中数学教与学，2009（2）.

　　[2]赵军.四两拨千斤.初中数学教与学，2012（12）.

三角形的底和高教学设计

鲁塘小学苏宏富

一、教学内容：苏教版小学数学四年级下册第三单元《三角形》P24-25

例题及想想做做1—3题)

二、教学目标

知识与技能：让学生在操作中体会高的概念，理解高和底的关系，

会用三角板作三角形内部的高；

过程与方法：通过动手操作，让学生在探索中掌握新知识，提高观

察能力和动手操作能力。

情感、态度价值观：联系生活中的实例，让学生感受数学的实用性，

进一步培养学生的空间观念。感受数学来源于生活，

也应用于生活。

三、教学重点、难点

认识三角形的底和高，正确画出三角形内部的高。

四、教学、学具准备

1、含三角形的图片若干张

2、直尺、一副三角板、白纸若干张

3、木条钉成的四边形和三角形

五、教学安排：一课时

六、教学过程

（一）复习导入

1、这是什么？（幻灯片出示）

2、日常生活中，仅知道三角形具有这些特征是不够的，还需要懂得它的底和高。那么，什么是三角形的底和高呢？它的底和高又有什么关系呢？就让我们在这节课中找到问题的答案。

3、板书课题：三角形的底和高

（二）新授课

七、板书设计

若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°

3、若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．

2．如右图：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（）个等腰三角形。

A．1 B．2 C．3 D．4

1．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是 ( )

A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2， D．2，，4

2、在下列定理中假命题是（）

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

3、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）

A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3

4．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A、1处 B、2处 C、3处 D、4处

l1l2

第4题

7.不等式2x13x3的正整数解的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.如果直角三角形的边长分别是3,4，x,则x的值是

1、已知一次函数y2x6.

(1)当x 时，y0; (2)当x 时，y0; (3)当x 时，y0;

y的取值范围是5、已知一次函数ykxb的图象如图所示，当x0时，（ •）.

A. y0 B. y0 C. 2y0 D. y2

（第5题图）

8、一次函数y1kxb与y2xa的图象如图，则下列结论①k0；②a0；③当x3时，y1y2中，正确的个数是（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

（第8题图）

4．如图所示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点P，则不等式kx+bax的解集是（）

A．x1 B．x<1 C．x2 D．x<2

3．不等式93x0的非负整数解是

5、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有 [ ]．

A．3组 B．4组 C．5组 D．6组

怎样的三角形可以被分割为两个等腰三角形

陈凤岚　

（山市北区中学，东中山中广

问题：知 △ＡＢＣ， △ＡＢＣ满足什么条件时。以用过　已当可顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角形？如何分？　探索结论　可以按三角形三个角的关系，类讨论如下：分　（）ＡＡＣ等边三角形时，然不能分为两个等腰　一当Ｂ是显三角形。　（） △ＡＣ顶角小于底角的等腰三角形时，妨设　二当Ｂ是不Ａ＜Ｂ　Ｃ，图（）　　＝如１。此时，能从　Ｂ只或　Ｃ分出一个角，之等于　Ａ，中使不　妨设　Ａ　ＡＤ，样 △ＡＤ等腰三角形。使ＡＢＤ是　＝Ｂ这Ｂ是要Ｃ也等腰三角形，可能是　Ｃ　ＢＣ只：Ｄ或　ＣＤ　ＢＣ　Ｂ＝Ｄ。１．若　Ｃ　ＢＣ，＝Ｄ设　Ａｘ，＝ｏ则　Ｃ　ＢＣ２。ＤＣ　＝Ｄ＝ｘ，Ｂ＝　ｘ。由三角形的内角和，ｘ２＋ｘ１０ｘ３　．Ｂ得＋ｘ２＝８，＝６ △ＡＣ的三个　内角分另是　Ａ＝６，Ｂ＝Ｃ７。　０３。　　＝２。２若ＬＣＢＤ＝￣ＢＤＣ．设　Ａ－Ｏ则ＬＣ－，－Ｘ，ＢＤ＝ＬＢＤＣ２ｏＬＣ　＝Ｘ，＝

一

５８０）２４０　

２从　Ａ中分出　Ｂ．ＡＤ＝Ｂ．　这样， △ＡＢＤ是等腰三角形，　如图（）要使 △ＡＣ是等腰三角形，４。Ｄ也只可能　ＣＬＣＤ，＝Ａ或　

ＣＡＤ＝　ＣＤＡ。　

、

① 若　Ｃ　ＣＤ，＝Ａ设　Ｃｘ，Ｂｙ，＝。　＝。则　ＢＤｘ，ＣＤ　Ａ－。　Ａ＝Ｙ，。由三角形的内角和，ｘｘｖｖ１０ｘｙ９．只需 △ＡＣ得＋＋＋：８，＋＝０即Ｂ　是直角三角形。　 ②若　ＣＤＺＣＡ，Ａ＝　Ｄ设　Ｂｘ，－ｏ则　ＢＤ　Ｂｘ，Ａ＝Ａ＝－。ＬＣＤ　ＣＡ２。ＢＣ３。即只需最大角是次大角的３。Ｄ＝ｘ，Ａ＝ｘ。　倍　３从　Ａ中分出　ＤＣ　Ｃ，．Ａ＝这样，Ｄ是等腰三角形。ＡＡＣ　如图（）５。要使ＡＡＤ也是等腰三角形，三种可能：Ｂ有　

① 若　Ｂ　ＡＢ，＝Ｄ设　ＣＸ，＝。则　Ｂ　ＡＢ２ｏ即只需次大　＝Ｄ＝ｘ，

角是最小角的２。倍　（　若　Ｂ　ＢＤ，设　Ｃｘ．Ｂ＝。则　ＤＣ＝。　＝Ａ＝。　ｖ，

Ａｘ，ＢＤｙ，三角形的内角和，＋＋＋＝８，＋＝０即只　Ａ＝。由得ｘｘｙｙｌ０ｘｙ９，需 △ＡＢ是直角三角形。Ｃ　 ③ 若　Ｂ＝ＢＡ，设　Ｃｘ，则　ＤＣｘ，ＢＤ　ＡＤ　Ｄ＝。Ａ＝。　Ａ＝ＢＡ２。ＢＣ３。即只需最大角是最小角的３。Ｄ＝ｘ，Ａ＝ｘ，　倍　综上所述，能分割成两个等腰三角形的情形如下表　

ＡＡＢＣ满足的条件　情形１　有一个角是９。　０。分割方法　作斜边上的中线。　从　Ａ中分出一个与　Ｂ相等的角，并　情形２有一个角是另一个角的３倍，　如　Ａ＝　以这个角和　Ｂ为两个内角构成一　３且Ｂ　。个等腰三角形

。　

．

３￣由三角形的内角和，＋ｘ３【８ｘ　ｘ，得ｘ３＋）０，＝＝１

７　

一２．１．ＡＡＢＣ５＇．７＿￣　

１　

三个内角分别是ｚＡ（５）￣２．１，＝＝７ — ）７．。　＝２二。５。ＬＢＬＣ（７ｌ。７　　７＿　１

ｃ　Ｂ　

图（　１）

图（　２）

（）ＡＡＣ顶角大于底角的等腰三角形时，妨设　三当Ｂ是不／Ａ　Ｂ　Ｃ，图（）　＞＝如２。

从最大角中分出一个角等于最小角，并　有一个最小角，其余两个角中至少有一　以这个角和最小角为两个内角构成　且情形３个是这个最小角的２倍　一个等腰三角形，或从次大角中分出一　。　个角等于最小角，并且以这个角和最小　角为两个内角构成一个等腰三角形。　注　如果三角形的三个内角满足上述几种情形，比如，既有３倍关系，又有符合要求　的２倍关系，，等等那么分割方法不惟一。　

此时，只能从　Ａ中分出一个角，之等于　Ｂ使或　Ｃ，不　

妨设　Ｂ　ＢＤ，样，Ｂ＝Ａ这ＡＡＤ是等腰三角形。要使ＡＡＣＤ也　是等腰三角形，只可能　Ｃ＝／ＤＣ，Ａ或　ＣＡ　ＤＣ。Ｄ＝Ａ　１若　Ｃ：ＤＡＣ，．　设　Ｂｘ．４Ｃ＝ＬＢＡＤ＝ＤＡＣ：。　＝。贝　　ｘ．ＡＣ２。由三角形的内角和．得ｘｘ２＝８，＝５．Ｄ＝ｘ，＋＋ｘ１０ｘ４　　 △ＡＣ三个内角分别是　Ａ９。Ｂ　Ｃ４。　Ｂ的＝０．＝＝５。　２若　ＣＤＡ＝ＤＡ设　Ｂ＝。，．　Ｃ，ｘ则　Ｃ：Ｂ　ＡＤ＝。　Ｃ— ｘ，　Ｄ＝ＤＣ２。由ｊ角

形的内角和，ｘ２＋ｘｌ０ｘ３　．Ａ　Ａ＝ｘ，得＋ｘ２＝８，＝６　ＡＡＣ三个内角分别是　Ａ１８．Ｂ　Ｃ３。Ｂ的＝０。　＝＝６　（）ＡＡＣ不等边三角形时，妨设ＬＡ　Ｂ　Ｃ　四当Ｂ是不＞＞。

二、用举例　应

【问题１（０８浙江宁波中考题）】２０年　

（）图ｌ △ＡＣ，Ｃ９。请用直尺和圆规作一条直　１如，Ｂ中　＝０，线， △ＡＣ割成两个等腰三角形（写作法，须保留作　把Ｂ分不但图痕迹）　。（）２已知内角度数的两个三角形如图２图３示。请你判　、所断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若　能，写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。请　

Ｃ　Ｃ　Ｃ　

此时，只能从　Ｂ分出一个角，之等于／Ｃ，从　Ａ中使或　

中分出一个角．之等于　Ｂ使或　Ｃ　１从　Ｂ分出ＤＣ／Ｃ．样，Ｃ．中　Ｂ＝这 △ＢＤ是等腰三角形。　如图（）要使ＡＡＤ是等腰三角形，可能　Ａ　ＡＢ，３。Ｂ也只＝Ｄ或　

ＡＢＤ＝ＡＤＢ。　　

：

．　 —

图１　

图２　

图３　

解：１只需作斜边Ａ上的中线即可，略。（）Ｂ图　（）图２，Ｂ７ｏＢ３Ａ，以从　Ｂ中分出一个　２在中　＝２，＝　　所２。（４角与　Ａ相等）并且以这个角和　Ａ为两个内角构成一个　，等腰三角形即可。分割成的两个等腰三角形的顶角分别是　

１２和８。　３。４。

。　

图（）３　最大角是最小角的２。倍　

图（　４）

图（）５　

① 若／Ａ＿Ｂ设ＬＣｘ，ＬＡ＝Ｄ＝ｘ，＝／ＡＤ，＝。则ＬＡＢ２。即只需　

② 若ＬＡＤＬＡＢ，设／Ｃｘ，则ＬＡＤ－Ｄ＝ｘ，Ｂ＝Ｄ＿＝。Ｂ＝／ＡＢ２。　

ＡＢ＝ｘ，Ｃ３。即只需次大角是最小角的３。倍　

在图３，Ａ２。不能分割成两个等腰三角形。中　＝４．　【问题２（０７山西太原中考题）】２０年　数学课上，同学们探究下面命题的正确性：角为的等腰　顶三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它　分成两个小等腰三角形。为此，你解答问题（）　请１。

（）知：图（）在 △ＡＢ１已

如Ｉ，Ｃ中，ＡＢ＝　Ａ＝６直线　ＡＣ，３。，Ｂ平分　ＡＣＡ于点Ｄ。ＤＢ交Ｃ　

８１　

求证：Ｂ与 △ＤＣ是等腰三角形。 △ＡＤＢ都　

（）证明了该命题后，颖发现：列两个等腰三角形　２在小下如图（）（）具有这种特性。请你在图（）图（）２、３也２、３中分别画　出一条直线，它们分成两个小等腰三角形，在图中标出所　把并画等腰三角形两个底角的度数。　（）着，颖又发现：角三角形和一些非等腰三角形　３接小直也具有这样的特性，：角三角形斜边上的巾线可把它分成　如直两个小等腰三角形。请你画出两个具有这种特性的三角形的　

示意图，在图中标出三角形各内角的度数。（明：并说要求画出　

￣Ｂ＝ＣＢ￣（０Ｘ９一，Ａ１￣．　ＣＤＬＤ＝－８－＝。Ｌ＝０ｘ。１￣）ｏ ÷ｘ８－ｙ

厶　二　

１　

此ｕ只能Ａ／Ｂ，８。　＝９。Ｚ　）／，有Ｌ＝ＡＤ即ｌ … ｙｙ（～，＿ｏＸ０ ÷ｘ　

。．．

３＋ｙ５０，ｘ４＝４。即　ＡＢ１５Ｃ＝３一二　Ｃ。　

４　

②若／ｃ＿是底角，则有两种情况。　

第一种情况：图２当Ｄ＝Ｃ，ＬＤＣｘＡＡＤ，如，ＢＤ时则Ｂ＝，Ｂ中　

ＺＡＤＢ＝２　ＡＢＤ＝ｙｘ。ｘ，－　

的两个三角形不相似．而且既不是等腰三角形也不是直角三　角形。）　

由ＡＢＡＤ，２＝－，＝得ｘｙｘ此时有ｙ３，ＬＡＢ＝＿Ｃ。＝ｘ即Ｃ３／　由ＡＢ＝Ｄ，１０－ — ＝ｘ，时３＋＝１０，ＬＡＢＣ＝Ｂ得８￣Ｘｙ２此ｘｙ８。即　

１０～　Ｃ。８。３　

、　

八

、　

一

由Ａ＝Ｄ，１０　 — ＝－，时ｙ９。即　ＡＣ９。　ＢＢ得８Ｏｘｙｙｘ此＝０，Ｂ＝０，Ｃ为小于４。５的任意锐角。　第二种情况，图３当Ｂ＝Ｃ，Ｄ－，ＡＢｌ０　如，ＤＢ时ＬＢＣｘ　Ｄ＝８。ｘ９。此时只能有Ａ＝Ｄ，而ＬＡＬＡＤＩＬＣＬＣ，＞０，ＤＢ从＝Ｂ＝　＜这　

２　

图（）１　解：１略。（）　（）下图：２如　

图（）２　

图（）３　

与题设　Ｃ是最小角矛盾。　当／是底角时，ＤＢ不成立。＿ＣＢ＝Ｃ　

・．．

或　

图（　２）图《　３）（）：３如　００

４。其中ｃ０，【６；＜ｔ５，＜ｔ＃３。０＃３。　

图（　３）

图１　

图２　

图３　

【题４（０２问】２０年广东中考题）　在ＡＡＣ中，ＢＡＢＡ＝Ｃ，若过其中一个顶点的一条直线。将　ＡＡＣ成两个等腰三角形。 △ＡＣ内角的度数（要求　Ｂ分求Ｂ各只

一

或：　

… 　

出三个不同的解）　。解：１如图（）若ＡＡＣ中底角是顶角的２，／Ａ＝（）１，Ｂ倍设－　ｘ。Ｂ　Ｃ２。＝＝ｘ，则ｘ２＋ｘｌ０ｘ３。＋ｘ２＝８，＝６，三内角分别为３ｏ　６，

，　

７，２。　２。７。

Ｏａ４。其中仅≠３￣０￣３。仅≠一　＜＜５，０，ｔ６，１０８￣

。　

【问题３（０７江苏无锡中考题）】２０年　（）１已知ＡＡＣ中，＝０，＝７。请画一条直线，ＢＬＡ９。ＬＢ６．，５　把这个三角形分割成两个等腰三角形。请你选用下面绐出的　（

备用图，所有不同的分割方法都画出来。只需画图，必说　把不明理由，要在图中标出相等两角的度数。）但　

Ｘ。

，　

图ｆＪ１　　图（）２　（）图（）若ＡＡＣ中顶角是底角的２，ＬＢＬＣ　２如２，Ｂ倍设＝＝Ａ２。ｌ＋＋ｘ１０ｘ４。三内角分别为９。４。４。　＝ｘ．ｘｘ２＝８，－５，￣Ｊ－ｏ，５，５。

／　

＼

。　

口Ｌ——————————　

备用圈①　

备用图②　

备用图③　

Ｘ。

，　

图（　３）（）图（）若ＡＡＣ顶角是底角的３，ＬＢ／＝３如３，Ｂ中倍设＝－Ｃ　Ａ３。．ｘｘ３＝８，＝６，内角分别为１８，６，６ｏ＝ｘ，ｌ＋＋ｘ１０ｘ３。三￣Ｊ０￣３￣３￣　

（）２已知 △ＡＣ中，是其最小的内角，顶点Ｂ一条　ＢＬＣ过的直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形。请探求ＬＡＣＢ　

与　Ｃ间的关系。之　

解：１如图，种不同的分割方法：（）有２ ①作Ｂ边上的中线；Ｃ　 ② 在　Ｂ中分出一个２．ｏ２的角。５　

图（　４Ｊ　

。　

备用图①　

备用图②　

（）ＬＡＣｙ　Ｃｘ过点Ｂ的直线交边Ａ２设Ｂ＝，＝，Ｃ于Ｄ。在　ＡＤＣ。Ｂ中　

（）图（）若ＡＡＣ中底角是顶角的３，ＬＡ－。　４如４，Ｂ倍

设－，ｘＢ　ｃ３。则ｘ３＋ｘ１０ｘ（５）一２．ｏ＝＝ｘ，＋ｘ３＝８，＝２５。５１７三内角分　

，

①若　ｃ是顶角，图１则ＬＤ＞０，如，ＡＢ９。　

８　２

肭ｃ￣　　７　２＞７　。５。－

有两角及一边对应相等的两个三角形全等吗

有两角及一边对应相等的两个三角形全等吗？

在一节关于三角形全等判定方法的复习课上，J老师曾这样告诉学生：“判定三角形全等的方法有四个：有三边对应相等的两个三角形全等，简称为SSS；有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，简称SAS；有两角及夹边对应相等的两个三角形全等，简称为ASA，有两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简称为AAS.”

“依据三角形的内角和定理，我们知道两个三角形若有两个角分别相等，那么其第三个角也一定相等.”

“由此，我们得到这样一个结论：两个三角形若有两个角及一条边对应相等，那么这两个三角形就一定全等.”

你是否与J老师一样，也有类似的习惯用语呢？你知道J老错在这里！注意：用两个全等的等腰直角尺摆放成如图所示的图形，D师错在哪里吗？

是BC的中点，则△BDQ与△CPD就满足两个角相等（∠B=∠C,

∠1=∠2）、一条边相等（BD=CD），但△BDQ与△CPD不一定全

等.

因为我们只要绕点D将等腰△DEF稍微旋转一个适当的角

度，就可以发现△BDQ与△CPD仍然满足两个角相等（∠B=∠C,∠1=∠2）、一条边相等（BD=CD），但△BDQ与△CPD不全等.

课堂上、教辅读物上，类似这样的错误还有很多，期望大家能够有意识地更正！

在命制试卷时，建议回避如下的单项选择题：两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（）（A）两角和一边；（B）两边及夹角；（C）三个角；（D）三条边.

题目引自《上海市初中毕业生统一学业考试解读（数学）》上海教育出版社2009年3月第1版第83页

两个三角形对偶恒等式

　　近日，笔者发现了涉及三角形各边上的高及旁切圆半径的两个对偶恒等式.

　　定理在△ABC中，a，b，c分别为其三边长，R，r分别是它的外接圆半径和内切圆半径，ra，rb，rc 分别为三边上的旁切圆半径，ha，hb，hc 分别为三边上的高.则有：

　　（1）hbhcra+hcharb+hahpc=2rR（ra+rb+rc）;

　　（2）rpcha+rcrahb+rarbhc=ra+rb+rc.

　　证明设Δ，p分别是△ABC的面积和半周长.

　　（1）由ha=2Δa，hb=2Δb，hc=2Δc，ra=Δp-a，rb=Δp-b，rc=Δp-c得

　　hbhcra+hcharb+hahpc

　　=4Δ（p-abc+p-bca+p-cab）

　　=4Δabc[a（p-a）+b（p-b）+c（p-c）]

　　=4Δabc[p（a+b+c）-（a2+b2+c2）]

　　=4Δabc[2p2-（a2+b2+c2）]

　　=4Δabc[-2p2+（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]

　　=8Δabc[-p2+（ab+bc+ca）].

　　又由abc=4RΔ，Δ=rp及海伦-秦九韶公式Δ=p（p-a）（p-b）（p-c）得

　　2rR（ra+rb+rc）

　　=8Δ2abcp（Δp-a+Δp-b+Δp-c）

　　=8Δ3[（p-b）（p-c）+（p-c）（p-a）+（p-a）（p-b）]abcp（p-a）（p-b）（p-c）

　　=8Δabc[p2-（b+c）p+bc+p2-（c+a）p+ca

　　+p2-（a+b）p+ab]

　　=8Δabc[3p2-2p（a+b+c）+（ab+bc+ca）]

　　=8Δabc[-p2+（ab+bc+ca）]

　　所以

　　hbhcra+hcharb+hahpc=2rR（ra+rb+rc）成立.

　　（2）rpcha+rcrahb+rarbhc

　　=Δ2[a（p-b）（p-c）+b（p-c）（p-a）+c（p-a）（p-b）]

　　=Δ[a（p-a）+b（p-b）+c（p-c）]2（p-a）（p-b）（p-c）.

　　又ra+rb+rc

　　=Δp-a+Δp-b+Δp-c

　　=Δ[（p-b）（p-c）+（p-c）（p-a）+（p-a）（p-b）]（p-a）（p-b）（p-c）

　　由（1）的证明可知

　　a（p-a）+b（p-b）+c（p-c）

　　=2[（p-b）（p-c）+（p-c）（p-a）+（p-a）（p-b）]，

　　所以rpcha+rcrahb+rarbhc=ra+rb+rc成立，证毕.

三角形底和高的认识学案设计

【目标诠释】——我来认识

1.知道三角形的高和底的意义，了解底和高的对应关系。

2.会用三角尺画三角形的高。

3.通过查阅资料，了解三角形的稳定性及其在生活中的应用。

【导学菜单】——我来预习

1.回忆：你了解三角形的哪些知识？

2.自学教科书第24页例题。

说说你在哪里见过人字梁的？它是用来干什么的？

人字梁的高你认为应该从什么地方量起，往哪里量？在图上指一指。

3.什么是三角形的高？什么是三角形的底？

怎样画三角形底边上的高？

4.想一想：一个三角形有几条高？

5.试着完成“想想做做”第1题。

【困惑扫描】——我来质疑

【感悟平台】——我来探究

1.仔细观察人字梁图，它的高应该从什么地方量起，往哪里量？

讨论、交流：怎样测量人字梁的高度？

人字梁的高度实际就是。

2.讨论：人字梁的高和人字梁下面的横梁在位置上有什么关系？

3.读懂教科书第24页人字梁下面的一段话。

数学上三角形的高是什么意思？底呢？

4.怎样画三角形的高？

画高时要注意。

5.完成教科书24页“试一试”。

6.阅读“你知道吗？”

了解三角形的特性，并试着举出生活中应用三角形稳定性的例子。

【建立网络】——我来归纳

1.从三角形的一个顶点到( )的( )是三角形的高，这条对边是三角形的( )。

2.三角形具有( )性。

【过关窗口】——我来练习

1.画出下面每个三角形底边上的高，并量出它的长度。

底

底：

高：

底

底：底：

底

高：

底

2.判断。(正确的“√”，错误的“×”)

(1)从三角形的一个顶点到对边的线段的长度就是这个三角形的高。

(2)当任意两条线段的长小于或等于第三条线段都不能围成三角形。

(3)三角形具有稳定性，不容易变形。( )

3.用竖式计算。

301×75 460×24 286×15

( ) ( )

等腰三角形,以两腰为斜边向形外作等腰直角三角形

等腰三角形以两腰为斜边，向形外作等腰直角三角形的有关题目

探究题：已知如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，分别以AB、AC为斜边，向三角形ABC形外作等腰直角三角形ABE与ACD，连接MD与ME。

(1)试判断MD与ME的位置与数量关系。 (2)如图五：若将此题解为任意三角形ABC，结果会怎样呢？

(3)如图六：任意三角形ABC，分别以AB、AC为斜边，向三角形ABC形内作等腰直角三角形ABE

与ACD，连接MD与ME。试判断MD与ME解：

(1)方法一：

由于特殊图形，故可采用特殊图形的性质进行证明如图二易证△EBM≌△DCM故MD=ME，

图二

(2)连接AM，易证A、E、B、M；A、D、C、M四点共圆

M图三

故：∠EMB=∠EAB=45°；∠DMC=∠DAC=45°，故可知EM⊥DM

方法二：用普通图形的方法证明

构造辅助线，如图：过E作EF⊥AB于F，过D作DG⊥AC于G，连结MF，MG；

A易证：△EFM≌△MGD

∠1=∠4，∠2=∠3，

四边形MFAG是平行四边形。

∠5=∠A，∠FMG=∠A 在三角形MGD中，易知∠2+∠4+∠5=90° 故：∠1+∠2+∠FMG=90 故：EM⊥DM

图四

(2)可以依照上述方法二数量关系

易证：△EFM≌△MGD 得：ME=MD ∠FME=∠GDM ∠FEM=∠GMD

四边形AFMG为平行四边形 ∠FMG=∠A ∠CGM=∠A

位置关系

要证：∠EMD=90°

即∠FMG+∠EMF+∠DMG=90° 代换为∠A+∠GDM+∠DMG=90° 由△DGM的内角和可得到。

(3)如图六

依据上述经验猜想：数量关系为ME=MD 位置关系为：ME⊥MD 易证：△EFM≌△MGD 得：ME=MD ∠FME=∠GDM ∠FEM=∠GMD

四边形AFMG为平行四边形 MG∥AB ∠FBE=∠GHE

位置关系

要证：∠EMD=90°

即∠DMG+∠GME =90° 代换为∠FEM+∠GME=90°

即：∠FEB+∠EMG+∠BEM=90° 三角形HME的外角性质可得： ∠EMG+∠BEM=∠GHE=∠FBE

代换：∠FEB+(∠EMG+∠BEM)= ∠FEB+∠FBE 故得到证明

图六

等底等高三角形面积应用

图形的面积

引理：如图1

中。P是AD上一点，连接PB,PC则S△PBC=S△ABP+S△

pcD=

（适应长方形、正方形）

S ABCD 2

图1

1．已知：四边形ABCD为平行四边形，图中的阴影部份面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几？

2. 的面积为18，E是PC的中点，求图中的阴影部份面积

3. 在中,CD的延长线上的一点E，DC=2DE,连接（如图）知S△PDE=1, S△ABP=4，BE交AC于P点，E 求：平行四边形ABCD的面积

4..四边形ABCD中，BF=EF=ED,（如图）

(1) 若S四边形ABCD =15

则S阴（2）若S△AEF+ S△BFC=15 则S四边形ABCD =

（3）若S△AEF= 3 S△BFC=2 则S四边形ABCD =

5. 四边形ABCD的对角线BD被E,F，G三点四等份，（如图）若四边形AECG=15 则S四边形ABCD =

则S四边形ABCD =

7.若ABCD为正方形，F是DC的中点，已知：S△BFC= 1 （1）则S四边形ADFB =

（2） S△DFE= （3） S△AEB=

8.直角梯形ABCD中.AE=ED,BC=18,AD=8,CD=6,且BF=2FC,S△GED=S△GFC.求S阴=

　Ａ　　　Ｅ　　　　Ｄ

6.四边形ABCD的对角线BD被E,F，G三点四等份，（如图）若阴影部份面积为15

Ｇ

Ｂ　　　　　　　　　　Ｆ　　　　Ｃ

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