【双曲线焦点坐标】 双曲线的焦点公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌

一、圆锥曲线的极坐标方程

椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： . 1ecos

其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．

当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

二、圆锥曲线的焦半径公式

设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PFe，∴PFe(PFcosp)，其中pFH，〈x轴，FP〉 ∴焦半径PFep． 1ecos

ep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF

推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有

112. MFNFep

三、圆锥曲线的焦点弦长

若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，

epep2ab2a2b2

c1、椭圆中，p，MN222. cc1ecos1ecos()accos

2、双曲线中，

epep2ab2

若M、N在双曲线同一支上，MN； 1ecos1ecos()a2c2cos2

epep2ab2

若M、N在双曲线不同支上，MN. 1ecos1ecosc2cos2a2

3、抛物线中，MNpp2p. 21cos1cos()sin

四、直角坐标系中的焦半径公式

设P（x,y）是圆锥曲线上的点，

1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1aexPF2aex；

2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，

当点P在双曲线右支上时，PF1exa，PF2exa；

当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex；

3、若F是抛物线的焦点，PFx

p. 2

坐标曲线题

题型研究

题型一 坐标曲线题

（2015年2次，2014年5次，2013年3次）

热点题型精讲

坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。

类型一 溶解类

解读：一定温度下，向一定量A物质的饱和溶液中加入A物质。A不再溶解，溶质质量分数不变。（2015盐城14A题、2014淮安10D题）

解读：一定温度下，向一定量A物质的接近饱和的溶液中加入A物质。A溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数先增大，后不变。（2014盐城14D题、2013盐城14B题）

类型二 pH曲线

1.溶液稀释时pH的变化

解读：稀释碱性溶液时，开始时溶液的pH﹥7，随着加水量的增加， pH不断减小，但不会小于7。（2014盐城14A题）

解读：稀释酸性溶液时，开始时溶液的pH﹤7，随着加水量的增加， pH不断增大，但不会大于或等于7。（2014盐城14A题）

2.酸碱中和过程中pH变化（详见P43）[2014徐州26题，2014连云港39（2）②题]

类型三 化学反应中的质量曲线

解读：随着反应的进行，反应物质量不断减少，直至不变（不完全反应，反应结束）

解读：随着反应的进行，反应物质量不断减少，直至为零（完全反应，反应结束）

解读：若横坐标为加入物质质量（如向一定量的A中加入B物质），

A、B反应结束时，生成物质量达到最大，继续加入B物质，生成物质量仍保持不变；若横坐标为反应时间，随着反应的进行，生成物不断增大，当反应结束时，生成物质量达到最大，随着时间增大生成物质量保持不变。（2015淮安19题、2014徐州10C题、2013淮安19题）

解读：同一反应，催化剂只影响化学反应速率，不影响生成物的质量。若横坐标为反应时间，由图像的斜率可以看出加入催化剂后化学反应速率明显加快，但生成物质量不变。（2014连云港32A题）

2.物质总质量曲线

解读：根据质量守恒定律，化学反应前后物质总质量不变。（2014连云港32B题）

3.催化剂质量曲线

解读：化学反应前后，催化剂的质量不变。（2014盐城14B题）

4.溶液质量曲线

解读：固体物质与溶液反应时，消耗的固体物质比溶液中析出固体物质的质量大时，随着反应的进行，溶液质量增大，反应结束后，溶液质量不再改变。

解读：固体物质与溶液反应时，消耗的固体质量比溶液中析出固体物质的质量小时，随着反应的进行，溶液质量减小，反应结束后，溶液质量不再改变。

5.固体质量曲线

解读：反应物为固体，生成物为固体或非固体时，固体质量随反应的进行先减小，后不变，如高温煅烧石灰石、加热高锰酸钾制取氧气。（2015盐城14C题）

6.气体（沉淀）质量曲线

解读：一般情况下，金属和混合盐溶液反应时，较活泼的金属优先与最不活泼的金属反应；酸与碱的反应也优于酸与盐的反应，据此可判断出产生的气体（或沉淀）的时机，进而根据生成物质量曲线进行判断（2015盐城14D题、2014盐城14C题、2014连云港32D题、2013盐城14D题）。

其他类

1.电解水气体质量曲线

解读：电解水时产生氢气的体积是氧气的2倍。（2014淮安10A题）

2.加热高锰酸钾制取氧气时固体中锰元素的质量分数曲线

解读：高锰酸钾加热分解生成氧气和锰酸钾，反应后固体质量减少，锰元素质量不变，所以锰元素的质量分数先变小，待反应结束后保持不变。（2014淮安10B题、2013盐城14C题）

例（2015盐城）下列四个图像能正确反映对应的实验操作的

是（ ）

A.向一定量的饱和石灰水中不断加入生石灰

B. 向等质量的锌、铁中滴加等质量分数的稀盐酸

C. 向一定量的氧化铁中通入一氧化碳气体并持续高温

D. 向一定量的氢氧化钠和氯化钡的混合溶液中滴加稀硫酸

【解析】生石灰是氧化钙的俗称，氧化钙与水反应生成氢氧化钙，消耗了溶剂，则溶质会析出，A错误；等质量锌、铁与等质量分数的稀盐酸反应，产生氢气的质量铁大于锌，横坐标为稀盐酸，质量相等的酸提供的氢元素质量相等，则产生的氢气质量相等，因此斜率相同，B正确；三氧化二铁与CO在高温的条件下反应生成铁和二氧化碳，固体质量不可能为0，C错误；稀硫酸加入后立即产生硫酸钡沉淀，所以应从0点开始，D错误。

【方法指导】解答此类试题要做到“四看”：

一看横纵坐标代表的含义；

二看曲线的起点、拐点、交点和终点，如一氧化碳还原氧化铁完全反应后产物为铁，固体质量不可能为零。

三看曲线的斜率；

四看特征（比如图像的走势，上升或者下降）；

再结合其他相关知识解答。

热点题型精练

1.（2015 杭州）向甲物质中逐渐加入乙物质至过量。若x轴表示加入乙物质的质量，则下列选项与图不相符合的是 （ ）

【解析】

2.(2014 连云港) 下列图像不能正确反映其对应变化关系的是 （ ）

A.用等质量、等浓度的过氧化氢溶液在有无催化剂条件下制氧气

B.一定质量的红磷在密闭容器中燃烧

C.向等质量、等浓度的稀硫酸中分别逐渐加入锌粉和铁粉

D.向一定质量的氯化铜和稀盐酸的混合溶液中逐滴加入氢氧化钠溶液

【解析】催化剂改变的是反应速率，不改变产物的质量，A正确；根据质量守恒定律，反应前后物质总质量相等，B正确；C图横坐标为金属质量，当加入等量的金属时，相对原子质量小的产生氢气多，铁产生氢气比锌多，当酸反应完后，产生氢气的质量将不再增加，图中锌与铁的曲线弄反了，C错误；酸碱盐之间发生反应时，氢氧化钠溶液先与稀盐酸发生中和反应，将盐酸反应完后再与氯化铜反应生成氢氧化铜沉淀，D正确。

3. （2015遵义）请按要求完成下列金属性质的实验：

研究一：金属与酸反应过程中的能量变化。

（1）打磨后的镁条与稀盐酸反应，

试管外壁发烫，说明该反应_______（填“放热”或

“吸热”），反应的化学方程式为______________________。

（2）实验测得反应中产生气体的速度（v）与时间（t） 的关系如图，请根据t1~t2时间段反应速率变化，说明化学反应速率受________等因素影响。

研究二：金属与盐溶液反应过程中的相关变化。

（1）某同学用硫酸铜溶液把“铁勺”变“铜勺”，其反应的化学方程式为_______________________。

（2）在一定量的AgNO3和Cu（NO3）2的混合溶液中加入铁粉，充分反应后，下图描述相关变化曲线，一定不正确的是___。

【解析】

研究一：（1）打磨后的镁条与稀盐酸反应，试管外壁发

烫，说明该反应放热，镁与盐酸反应会生成氢气和氯化镁，化学方程式Mg+2HCl MgCl2+H2↑为： 。（2）通过图中的反应速率可以看出，在t1～t2时间段速率加快，所以化学反应速率受温度等因素影响；

研究二：（1）铁和硫酸铜反应生成硫酸亚铁和铜，化学方程式为： Fe+CuSO4 FeSO4+Cu

(2)由金属活动性顺序可知，铁会先与硝酸银反应生成硝酸亚铁和银，然后再与硝酸铜反应生成硝酸亚铁和铜。刚开始铜的质量为零，置换完银才会置换出铜，A正确；硝酸铜的质量分数最后会减小到零，

B

错误；铁和硝酸银反应生成硝酸亚铁和银，每56份质量的铁会置换出216份质量的银，溶液质量减轻，铁和硝酸铜反应生成硝酸亚铁和铜，每56份质量的铁会置换出64份质量的铜，溶液质量也会减轻，但是没有前面减小的幅度大，C正确；铁刚与硝酸银反应生成硝酸亚铁和银，溶液中会出现银离子、亚铁离子、铜离子三种离子，然后会出现亚铁离子和铜离子，最后只剩下亚铁离子，D正确。

极坐标曲线

极坐标

极坐标系

polar coordinate system

极坐标曲线

Circle）a

圆（

圆（Circle）2acos

圆（Circle

）2asin

圆（Circle

）2acos

圆（Circle

）

2asin

五个圆

a

2acos

2asin

2acos

2asin

心形线

（cardioid

）

a(1cos)

心形线

（cardioid

）

a(1sin)

阿基米德螺线

spiral)

等速螺线

a

(Archimedes’

阿基米德螺线

spiral)

等速螺线

a

(Archimedes’

对数螺线

(Logarithmic spiral)

等角螺线

ea

抛物螺线（Parabolic spiral）费马螺线（Fermat’s spiral）

2a

瑰

玫线

三叶玫瑰线

Three-leaved rose

curve

asin3

三叶玫瑰线Three-leaved rose curve

acos3

四叶玫瑰线Four-leaved rose

curve

asin2

四叶玫瑰线Four-leaved rose

curve

acos2

五叶玫瑰线Five-leaved rose

curve

asin5

五叶玫瑰线Five-leaved rose

curve

acos5

八叶玫瑰线Eight-leaved rose curve

asin4

八叶玫瑰线Eight-leaved rose

curve

acos4

九叶玫瑰线Nine-leaved rose

curve

asin9

十二叶玫瑰线Twelve-leaved

rose curve

asin6

十六叶玫瑰线Sixteen-leaved

rose curve

asin8

二十叶玫瑰线Twenty-leaved

rose curve

asin10

cosn

n1

n5

n9n13n2

n6n10n14n3

n7n11n15n4

n8

n12

n16

sin(030)



sin

蚶线

(Limacon)

1csinc2.5)

(

双纽线（lemniscate）

贝努利双纽线

2acos222

sin

20)

(0

sin

15

)

(15

测设圆曲线上曲线坐标点计算新方法

　　【摘要】介绍公路、铁路定位，矿山井巷测量过程中，采用可编程的CASIO―4800P计算器计算圆曲线上点坐标，该法计算简单，操作便利。

　　【关键词】工程测量；圆曲线；坐标计算

　　引言

　　在公路、铁路定位，矿山井巷测量过程中，测设圆曲线常用方法有偏角法、切线支距法等。这些方法在圆曲线测设中有一定的局限性。如果利用圆曲线设计的曲线要素点坐标，再利用可编程序的CASIO―4800P计算器计算出圆曲线各个施测点的平面直角坐标，利用线路附近的控制点进行园曲线的放样定位。采用这种方法测量计算简单、操作便利，即使施测线路附近有障碍物，只要加测几个控制点，施测线路问题就可以快速解决。

　　1、计算原理及程序编制

　　1.1计算原理

　　如图1所示，圆曲线半径R，两切线方位角a1、a2及偏角a均能从设计资料中查出，曲线要素公式计算：

　　1.2弧长l所对圆心角γ、弦切角β、弦长S的计算公式

　　S=2RSinβ （5）

　　1.3CASIO―fx4800P计算器程序编制程序：

　　A：B：R：C

　　YQX―圆曲线上各点坐标计算程序

　　U=C：Prog “H”：

　　C=U：Lbi7：{L}：L：D=90L÷R÷π：

　　K=C+D：S=2RsinD

　　X=A+S×cosK

　　Y=B+S×sinK

　　Goto7

　　A―圆曲线ZY点的X坐标

　　B―圆曲线ZY点的Y坐标

　　R―圆曲线的半径

　　C―切线ZY―JD的方位角（角度输入以度为单位，分秒按小数输入）

　　l―圆曲线的弧长

　　S―圆曲线的弧长所对应的弦长

　　当偏角a为左偏时，程序中计算方位角K应为K=C-D。

　　子程序

　　H―60进制化为10进制

　　U=IntU+Int（100FracU）/60+ Frac（100U）/36

　　2、程序应用算例

　　如图2所示，已知a1=45°20′12″，a2=97°40′16″，R=400m，偏角a为右偏52°20′04″。ZY坐标X=5412.203、Y=4778.892，JD桩号Dh为0+481.370，经计算ZY的桩号0+284.830，YZ的桩号0+650.190。T=196.540，L=365.363

　　3、结论

　　到此，曲线点上所有平面直角坐标计算结束。经验算，此程序计算坐标成果正确。经生产实践应用给测量放样圆曲线带来很大便利。

　　作者简介

　　董宏军（1959-），男，工程师，供职于通钢板石矿业公司。

缓和曲线坐标计算

二、公式推导 1 、实例数据

河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）： AB 段为缓和曲线段， A 为 ZH 点， B 为 HY 点， RB=800m ； A 点里程为 NK0+080 ，切线方位角为 θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为

XA=4355189.493,YA=476976.267 ； B 点里程为 NK0+158.125 ，切线方位角为 θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为 XB=4355174.669 ， YB=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标。 2 、公式推导及实例计算 方法一：弦线偏角法 1 ）公式推导

由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。所以我们可以利用 ZH 点，只要知道待求点距 ZH 点的距离（弦长 S ）和此弦与 ZH 点切线方位角的夹角（转角 a ），即可求出该点坐标。 根据回旋线方程 C=RL ，用 B 点数据推导出回旋线参数： C=RLS=800*78.125=62500 （ LS 为 B 点至 ZH 点的距离） 设待求点距 ZH 点距离为 L

因回旋线上任意点的偏角 β0=L2/2RLS, 且转角 a=β0/3 ， 可得该点转角 a 。（曲线左转时 a 代负值）。 根据缓和曲线上的弧弦关系 S=L-L5/90R2LS2 ， 可以求出待求点至 ZH 点的弦长。

然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式：

X=XA+S*cos （ θA+a ） =4355189.493+ （ L-L5/90R2LS2 ） *cos （ θ

A

+L2/6RLS ）

Y=YA+S*sin （ θA+a ） =476976.267+ （ L-L5/90R2LS2 ） * sin （ θ

A

+L2/6RLS ）

式中 θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″ 2 ）实例计算

现在我们利用此公式计算桩号为 NK0+140 的坐标 第一步，求出 L=140-80=60 米

第二步，求出 a=180L2/6 π RLS=0 ° 33 ′ 00.14 ″

第三步，求出 S=L-L5/90R2LS2=60-605/ （ 90*8002*78.1252 ） =59.998 第四步：将 a ， S 值代入缓和曲线计算公式，可求出桩号为 NK0+160 点的坐标为：

X=4355178.501 ， Y=477035.249 。 同理，我们可求出其它桩号的坐标。 方法二：坐标转换法 1 ）公式推导

首先我们建立坐标系，以 ZH 点为坐标原点，其切线方向为 X 轴，过该点的半径方向为 Y 轴（如图）。根据缓和曲线参数方程： x=L-L5/40R2LS2 ； y=L3/6RLS

计算出曲线上各点在此坐标系下的坐标（ x ， y ）。 然后利用坐标转换公式 X=XA+xcosa-ysina Y=YA+xsina+ycosa

将 (x,y) 代入该式，即可求出缓和曲线上各点的坐标计算公式： X=4355189.493+ （ L-L5/40R2LS2 ） cosθA - （ L3/6RLS ） sinθA ； Y=476976.267+ （ L-L5/40R2LS2 ） sinθA + （ L3/6RLS ） cosθA 。 式中 θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″ 2 ）实例计算

现利用此公式计算桩号为 NK0+140 的坐标。 第一步：求出 L=140-80=60 米

第二步：求出该点在新坐标系下的坐标 x=59.995 ； y=0.576 。 第三步：将 L 、 x 、 y 的值代入公式可得 NK0+140 的坐标为： X=4355178.501 ， Y=477035.249 。 同理可计算出曲线上其他对应桩号的坐标：

NK0+100 ： X=4355185.997 ； Y=476995.959 。 NK0+120 ： X=4355182.375 ； Y=477015.628 。

也谈在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一

　　摘 要：椭圆、双曲线和抛物线方程一直是高考的热点，本文就如何在极坐标系中使椭圆、双曲线、抛物线方程达到统一，提出自己的观点.

　　关键词：极坐标；椭圆；双曲线；抛物线方程；统一

　　《数学教学通讯》（中等教育）2013年4期发表的郭新祝老师的论文《在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一》中探究的教材（苏教版选修4-4）中，给出的圆锥曲线极坐标方程仅仅是极点建立在椭圆的左焦点（双曲线的右焦点）情况下的方程，而对于另外三种形态，即极点分别建立在椭圆的右、上、下焦点的情况，则没有探究，下面笔者就带领大家一起去进一步探讨挖掘！

　　（一）如图1，当极点建立在椭圆的右焦点（双曲线的左焦点）时，

　　ρ=■（Ⅱ）

　　当0　　当e=1时，方程（Ⅱ）表示开口向左的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，0；抛物线准线方程为ρcosθ=p.

　　当e1时，方程（Ⅱ）表示双曲线，定点F是该双曲线的左焦点，定直线l是该双曲线的左准线. 与方程（Ⅰ）情形相同，对于双曲线中的a，b，c结果也不变，即a=■，b=■，c=■，即双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■，此时，双曲线中心极坐标为■，0；双曲线的左焦点极坐标为（0，0），右焦点极坐标为■，0；双曲线的左顶点极坐标为■，0，双曲线右顶点极坐标为■，0；双曲线的左准线方程为ρcosθ=p，右准线方程为ρcosθ=■；

　　综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，

　　有结论（�）a=■，c=■，b=■；

　　？摇？摇？摇（�）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，0；

　　？摇？摇？摇（�）椭圆的左（双曲线的右）焦点极坐标为■，0，椭圆的右（双曲线的左）焦点极坐标为（0，0）；

　　（�）椭圆的左（双曲线的右）顶点极坐标为■，0，椭圆的右（双曲线的左）顶点极坐标为■，0；

　　（�）椭圆的左（双曲线的右）准线方程为ρcosθ=■，椭圆的右（双曲线的左）准线方程为ρcosθ=p.

　　（二）如图2，当极点建立在椭圆的上焦点（双曲线的下焦点）时，如图3，

　　ρ=■（Ⅲ）

　　■

　　图2

　　当0　　当e=1时，方程（Ⅲ）表示开口向下的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，■；

　　抛物线准线方程为ρsinθ=p.

　　当e1时，方程（Ⅲ）表示双曲线，定点F是该双曲线的下焦点，定直线l是该双曲线的下准线，此时，a=■，b=■，c=■；双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■；此时，双曲线中心极坐标为■，■；双曲线的上焦点极坐标为■，■，下焦点极坐标为（0，0）；双曲线的上顶点极坐标为■，■，双曲线下顶点极坐标为■，■；双曲线的上准线方程为ρsinθ=■，下准线方程为ρsinθ=p；

　　综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，

　　有结论（�）a=■，c=■，b=■；

　　？摇？摇？摇（�）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，■；

　　（�）椭圆的上（双曲线的下）焦点极坐标为（0，0），椭圆的下（双曲线的上）焦点极坐标为■，■；

　　（�）椭圆的上（双曲线的下）顶点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）顶点极坐标为■，■；

　　（�）椭圆的上（双曲线的下）准线方程为ρsinθ=p，椭圆的下（双曲线的上）准线方程为ρsinθ=■.

　　（三）如图3，当极点建立在椭圆的下焦点（双曲线的上焦点）时，？摇

　　ρ=■（Ⅳ）

　　当0　　当e=1时，方程（Ⅳ）表示开口向上的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■；

　　抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，■；抛物线准线方程为ρsinθ=-p.

　　当e1时，方程（Ⅳ）表示双曲线，定点F是该双曲线的上焦点，定直线l是该双曲线的上准线. 此时，a=■，b=■，c=■，双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■，此时，双曲线中心极坐标为■，■或■，■，双曲线的上焦点极坐标为（0，0），下焦点极坐标为■，■或■，■，双曲线的上顶点极坐标为■，■，双曲线下顶点极坐标为■，■或■，■；双曲线的上准线方程为ρsinθ=-p，下准线方程为ρsinθ=■；

　　综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，

　　有结论（�）a=■，c=■，b=■；

　　（�）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，■；

　　（�）椭圆的上（双曲线的下）焦点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）焦点极坐标为（0，0）；

　　（�）椭圆的上（双曲线的下）顶点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）顶点极坐标为■，■；

　　（�）椭圆的上（双曲线的下）准线方程为ρsinθ=■，椭圆的下（双曲线的上）准线方程为ρsinθ=-p.

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