双曲线焦点|双曲线所有公式

双曲线焦点三角形

双曲线焦点三角形的几个性质文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：

x2y2

设若双曲线方程为221，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有： ab

性质1、若FPF12,则SF1PF2b2cot；特别地，当FPF1290时，有S2F1PF2 b2。22PF1PF2cos|PF1|2|PF2|2|FF12|

22PF1PF2cos(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2||FF12|

2PF1PF2cos(2a)22|PF1||PF2|(2c)2

2PF1PF2(cos1)4(a2c2)

b2b2

PF1PF221cossin22

SF1PF2, 1b2|PF1||PF2|sin 2sincosb2cot 22222sin2

F1PF2易得90时，有Sb2

性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。 x2y2

证明：设双曲线221的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，双曲ab

线的两个顶点为A1,A2

|PF1||PF2||CF1||BF2|AF1||AF2| |PF1||PF2|2a，|AF1||AF2|2a,

A在双曲线上，又A在FF12上，

A是双曲线与x轴的交点即点A

1,A2

性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则

|BA|e |AP|

证明：由角平分线性质得

||FB||FB||F2B|2c|BA||FB121e |AP||FP|F2P||FP2a1|1||F2P|

性质4、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PFF12,PF2F1,

e1cot; 22e1

e1当点P在双曲线左支上时，有cottan 22e

1当点P在双曲线右支上时，有tan

证明：由正弦定理知|F2P||FP||FF12|1 sinsinsin()

|F2P||FP|FF1|12| sinsinsin()由等比定理，上式转化为

2a2csinsinsin()

2sincossinsincoscossin csin()asinsin2cossinsinsincoscossin2222222

分子分母同除以cossin，得 22

cot1e1 etancot22e1tancot122tan

双曲线焦点弦的弦长求法

维普资讯 http://www.cqvip.com

职曲　

‘ 教学教￣ｉｌＤ２０００年第３期（总第１２４期）　

焦点５杰　

ｊ丢　

重庆・４１・　

双

，　

曲线焦点弦的弦长求法　

、

（　

（湖南省隆回县教师进修学校本文通过几例双曲线焦点弦的弦长问题说　

４２２２ｏｏ）　范芳礼　

０　２　／　

＝ａｌｃｏ。ｓ

上 ∈（ｏ

，

明这类问题的一般求法．　例１　在极坐标系中．过双曲线Ｐ：　

詈）若设过右焦点的直线ｚ的　

倾斜角为０，０ ∈［０，　】则．　１）当０Ｅ［０，　）Ｕ（　一Ⅱ，　）时，　与双曲线　的两个交点Ａ、Ｂ在双曲线的两支上．不难得出　

１ＡＢ１＝一Ｐｌ —Ｐ２　

ｅｐ　－２。

。

的右焦点下作一倾角为６ｏ．的直线ｆ，求　

它被双曲线截得的弦长？　解：设直线　与双曲线交于Ａ、Ｂ两点，设Ａ　

２

．　

２）当０ ∈（ａ，　一　）时，ｚ与双曲线的两个交　

（Ｐ１．詈）．Ｂ（Ｐ２，　），易知双曲线的一条渐近线　

点Ａ、Ｂ均在右支上，不难推出ｌＡＢｌ＝ｐｌ＋Ｐ２＝　

＝２韭　

１一　ｃｏｓ２０　

的倾斜角为ａ＝ａｔｏｅｔ￣｛∈ （ｏ．号）．且　＝　ａＩｃ　了１　ａ　１：詈－这时Ａ、Ｂ分别在双曲　

线的左、右下支上，焦点Ｆ为线段ＡＢ的外点，所　

以ｌＡＢＩ＝１ＦＡＩ一１ＦＢ１＝一Ｐｌ —Ｐ２＝　

一　

３）当０＝ａ或０＝　一　时．　只与双曲线交　于一点不存在弦长问题．　

倒３　过双曲线１６ｘ　一９　＋３２ａ－＋１８ｙ一　

２　

— 　

２　

：１上　

１３７＝０的焦点作倾角为４５ ’ 的直线交曲线Ａ、Ｂ　两点，求弦ＡＢ的长．　

卜３ｏｏｓ詈卜３。０ｓ譬　

饲２已知双曲线Ｐ　

’ 　

＿，ｌ过右焦点　

Ｆ作一倾角为　的直线￡．求它被双曲线截得弦　

长？　

解：经配方曲线方程化为　专　一　＝１，平移后为等一　１６＝１，由于平移不改变两　

点间的距离和倾角，所以可在新坐标系下求解，　

解：设直线ｚ与双曲线交于Ａ、Ｂ两点，Ａ　

为书写方便曲线方程改写为等一　１６＝１．其焦点　

为Ｆｌ（一５，Ｏ）．Ｆ２（５．０）．以右焦

点为极点，　轴　正半轴为极轴建立极坐标系，则双曲线方程为Ｐ　

：　

（Ｐｌ，等），Ｂ（ｐ２，詈），易知双曲线的一条渐近线　

的倾斜角　＝ａｒｃｃｏｓ ÷∈ （ｏ，詈）．且　＝８１￣Ｃ０５专　

＝

詈＜孥．这时，Ａ、Ｂ均在双曲线的右支上、Ｆ　

（ｅ＝号，ｐ＝警）．设Ａ（ｐ　，号），Ｂ（ｐ：．　

为线段ＡＢ的内点，所以ｌＡＢｌ＝ｌ　ＦＡｌ＋ｌ　ＦＢｌ＝　

莩），因为双曲线一渐近线的倾角　＝　

ａ一

一１＋　２　碡１　

一

１＝　压一　＿　

詈 ∈ （ｏ．詈）．且ａ＝ａ一詈＞ａ —ｓ等＝　

－　２ｅｐ

ｅ　一１　

般地．双曲线的极坐标方程为ｐ＝　

手，所以Ａ、Ｂ两点在双曲线的两支上．　

１ＡＢ［＝－ｐ１－ｐ２－　

ｃｏｇ　

’ 　

：　

（　＞１）易知它的一条渐近线的倾斜角为　

号一　

’ 　

双曲线焦点三角形的几个性质

文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：

x2y2设若双曲线方程为221，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有： ab

22Sbcot性质1、若FPF则；特别地，当时，有。 ,SbFPF90FPF1212FPF1221222PF1PF2cos|PF1|2|PF2|2|FF12|

22PF1PF2cos(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2||FF12|

2PF1PF2cos(2a)22|PF1||PF2|(2c)2

2PF1PF2(cos1)4(a2c2)

b2b2

PF1PF221cossin22

SF1PF2, 1b2|PF1||PF2|sin 2si222sin2

12sb2c 22易得90时，有SFPFb2

性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。 x2y2证明：设双曲线221的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，双曲线的两个顶点为A1,A2 ab

|PF1||PF2||CF1||BF2|AF1||AF2|

|PF1||PF2|2a，|AF1||AF2|2a, A在双曲线上，又A在FF12上，

A是双曲线与x轴的交点即点A

1,A2

性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则|BA|e |AP|

证明：由角平分线性质得

||FB||FB||F2B|2c|BA||FB121e |AP||FP||FP||FP||FP|2a1212

性质4、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PFF12,PF2F1,

e1; 22e1

e1当点P在双曲线左支上时，有cottan 22e1当点P在双曲线右支上时，有tancot

证明：由正弦定理知|F2P||FP||FF12|1 sinsinsin()

|F2P||FP|FF1|12| sinsinsin()由等比定理，上式转化为

2a2csinsinsin()

2sincossinsincoscossin csin()asinsin2cossinsinsincoscossin2222222

分子分母同除以cossin，得 

22

cot1e1 etancot22e1tancot122tan

双曲线第二定义焦点三角形

§2.双曲线第二定义及焦点三角形

题型一利用椭圆的第二定义求椭圆的方程【例1】若点M（x,y）与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x

【练习2】过双曲线x作倾斜角为

题型三求焦点三角形的面积【例3】P是双曲线

的距离的比是常数

（ca0）,求点M的轨迹方程。

1的左焦点F1,



的弦AB,求弦长AB.

【练习1】已知点A（3，2）、F （2，0），在双曲线x

1上求一点P，使

PAPF的值最小。

题型二双曲线的焦半径【例2】已知P(x0,y0)是双曲线

y

1上一点，F1,F2

是焦点，若F1PF290,求PF1F2的面积。

yb

1

上一点，求点P到双曲线两焦点 F1,F2的距离。思考：如果焦点在y轴上结果怎样？

- 31 -

课时作业

1、已知动点M的坐标满足方程2(x1)(y1)

（3）在椭圆E上是否存在关于直线l的对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

5、已知椭圆

xy2,则动点M

的轨迹是（）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线D.以上都不对

2、已知焦点在x轴上的双曲线，离心率为2, F1,F2是其左右焦点，P是双曲线上一点，且

F1PF260，PF1F2的面积为12

3，

求双曲线的标准方程。

3、已知某椭圆的焦点是F1(4,0),F2(4,0),过F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且F1BF2B10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)



1(ab0)的离心率

为

，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点

F1,F2为顶点的三角形的周长为4(21)，

一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和

满足条件：

PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D。

F2A,F2B,F2C成等差数列。

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1,k2，证明k1k21

（3）是否存在常数

使得

（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标。

4、已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴上，离心率为（1）求椭圆E的方程。

（2）求F1AF2的角平分线所在的直线l的方程。

ABCDABCD恒成立？若存在，

求的值；若不存在，说明理由。

。

- 32 -

双曲线中的焦点三角形性质整理

双曲线中的焦点三角形

江苏省盱眙中学赵福余

1.设双曲线





1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线上，若F1PF260，则

F1PF2的面积为xa

设双曲线为

1a0,b0，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线上，

性质1 ：若F1PF2，则F1PF2的面积为性质2：通过以上求解过程，若F1PF2，则PF1PF2 ；PF1PF2的最小值是 . （1）设双曲线



1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线上，F1PF290，



则F1PF2的周长为x

（2）若F1、F2分别是双曲线



1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的

弦，且AB6，则ABF2的周长是2.双曲线焦点三角形F1PF2的内切圆与F1F2相切于点A，则AF1.AF2 . 性质3：切点A的位置为 . 3.设双曲线



1a0,b0，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线上，O是中

心，则t

PF1PF2

的范围是 .

性质4：PF1.PF2与OP的等式关系为4.设双曲线



1a0,b0，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上一点

tan

若离心率e2，则





. 2

tan

性质5：





.（用离心率e表示） 2

tan

5.双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，若BA4，AP2，则离心率e . 性质6：e .（用BA，AP表示）

双曲线知识点归纳

高考双曲线知识点归纳

2．双曲线的标准方程及其几何性质

3.等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其标准方程为xy0，离心率为

，渐近线方程

为yx（互相垂直）

2222

4.共轭双曲线：双曲线xy1(a0,b0)的共轭双曲线是yx1(a0,b0)，性质如下：

2222

abba

⑴双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；

⑵双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距，四焦点共圆； ⑶双曲线与它的共轭双曲线离心率分别为e1,e2,则有5.双曲线系:

11

1和e1e2. 22e1e2

2222

⑴与双曲线xy1(a0,b0)共渐近线的双曲线系方程为xy(a0,b0，0),它们的渐近线为

2222

abab

x2y2

0(a0,b0) a2b2

⑵与双曲线xy1(a0,b0)共焦点的双曲线系方程为

x2y2

21(a0,b0,ka2) 2

akbk

6.点与双曲线的位置关系

2222

xyxy00⑴点Px0,y0在双曲线1(a0,b0)内1(a0,b0)

a2b2a2b22222

⑵点Px0,y0在双曲线xy1(a0,b0)上x0y01(a0,b0)

2222

⑶点Px0,y0在双曲线xy1(a0,b0)外x0y01(a0,b0)

2222

7.直线与双曲线的位置关系

可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于X（或Y）的一元二次(或一元一次)方程的解来判定。

有两个公共点 0

直线与双曲线相交；

有一个公共点直线与渐近线平行

直线与双曲线相切 0(只有一个公共点)；直线与双曲线相离0(无公共点)。

22xy若AB为双曲线1(a0，b0)的弦,Ax1,y1,Bx2,y2,弦中点Mx0,y0

a2b2

①弦长l②kAB

1x2y1y2k0 b2x02 ay0

b2x0

③直线AB的方程为:yy02xx0

ay0

a2y0

④直线AB的垂直平分线方程为: yy02xx0

bx0

8.焦点三角形：双曲线上的点Px0,y0与两焦点构成的的三角形称为焦点三角形。F1PF2，

PF1r1,PF2r2

2b2

⑴arccos1

rr121sin2

⑵SPF1F2r1r2sinbb2cotcy0

21cos2

双曲线典型题专练

双曲线定义

x2y2

1表示双曲线”的 ( ) 2．若kR，则“k3”是“方程

k3k3

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

x2y2

3.已知P是双曲线21右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3xy0. 设F1、F2分别为

双曲线的左、右焦点. 若PF23，则PF14．已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

y2y2y2y22221(x1) B． x1(x1)C．x1(x1) 1 x0 D．xA．x

88810

x2y2

6．以知F是双曲线1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为412

x12222

7．P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆(x4)y4和(x4)y1上的点，则|PM|-|PN|15

的最大值为

x2y28．若方程1 所表示的曲线为C，给出下列四个命题：

4tt1

①若C为椭圆，则14或t<1； ③曲线C不可能是圆； ④若C表是椭圆，且长轴在x轴上，

其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）。几何性质

x2y2x2y2

=1有相同的焦点，11.已知双曲线221(a＞0，b＞0)和椭圆且双曲线的离心率是椭圆离心率的两

ab169

倍，则双曲线的方程为 .

x2y2

12.已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠

927

的平分线．则|AF214.设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足PF1：F1F2：PF2=4：3:2，则曲线I的

离心率等于

A．或

123 2

B．或2

C．或2 D．或

12233 2

x2y2y22

1有公共的焦点，C2的一条渐近线与C1C2的长17.已知椭圆C1:221（a＞b＞0）与双曲线C2:x

ab4

度为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则（A） a2 =

131

（B） a2=13 （C） b2= (D) b2=2 22

x2y2

．已知双曲线21(a的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）

3a2

．

D．2

x2y2

19.设a1，则双曲线21的离心率e的取值范围是（） 2

a(a1)

．

C．(2，5)

．(2

x2y2

20.设F1和F2为双曲线221(a0,b0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则

双曲线的离心率为 A．

B．2 C． D．3 22

x2y2

23.设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点

M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）

x2y2

24．已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交



y轴于点P．若AP2PB，则椭圆的离心率是（）

．

11 B

． C． D．2232

x2y21(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点P(,y0)在25.已知双曲线

2b2

双曲线上.则PF1²PF2＝( )

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

x2y2

26．设O为坐标原点，F1,F2是双曲线221（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠

F1PF2=60°，∣OP∣

,则该双曲线的渐近线方程为

（A）x

（B

±y=0 （C）x

=0 （D

±y=0

x2y2

27.已知双曲线221（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且

只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A．（1，2）

B．（－1，2）

C．（2，+∞） D．[2,)

28．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y

，x,(a0,b0)，若双曲线上有一点M（x0,y0）

使a|y0|b|x0|，那么双曲线的交点（）

A.在x轴上 B.在y轴上 C.当ab时在x轴上 D.当ab时在y轴上 29．若方程x1ax1ab0的两根分别为椭圆，双曲线的离心率，则

的取值范围是_______________ a

焦点三角形及直线与双曲线

x2y2

31．无论m为任何实数，直线l:yxm与双曲线C:1b0恒有公共点，则双曲线C的离心率为

2b2

_______________

32．直

线l:ykx与双曲线xy1x0交于不同两点，则直线l的倾斜角的范围是

_______________

x2y2

33．设圆C的圆心在双曲线21(a0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C

被直线l:x0

截得的弦长等于2，则a的值为（）

C．2 D．3

x2y2x2y2

34．若椭圆1(m,n,p,q均为正数）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共1与双曲线

pqmn

点，则|PF1||PF2|等于_______________

x22

35．设F1,F2是双曲线y1的两个焦点，P在双曲线上，当PF1F2的面积为1时，PF1PF2的值等于

x2y2

36．设F1、F2分别为双曲线221(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足

abPF2F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.3x4y0 B.3x5y0 C.4x3y0 D.5x4y0

x2y22222

37．点P是双曲线C1:221a0,b0与圆C2:xyab的一个交点，且2PF1F2PF2F1

其中F1,F2是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为______________

x2y2

38．设F1,F2是双曲线221a0,b0的两个焦点，P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则双曲

线离心率的最大值为______________

x2y2

39．P为双曲线2-2=1（a,b0）右支上一点，F1，F2分别是左右焦点，且焦距为2c，则△F1PF2的内切圆圆

心的横坐标为______________

x2y2

40.在平面直角坐标系中,对于双曲线221a0,b0,有下面四个结论:①存在这样的点M,使得过M的

任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点；②存在这样的点M,使得过点M可以作两条直线与双曲线有且只有一个公共点；③不存在这样的点M,使得过点M可以作三条直线与双曲线有且只有一个公共点；④存在这样的点M,使得过点M可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点；这四个结论中，正确的有________________

41．过已知双曲线C：x1的一个焦点作直线l与C交于A、B两点，若|AB|=d，根据d的大小判断直

线可能的条数：（1）若d2，则这样的直线l ；（2）若2d6，则这样的直线l ；（3）若d6，则这样的直线l 。（4）若d=2时则这样的直线l有；（5）若d=6时则这样的直线l

x2y2

42．已知A,B,P是双曲线221上不同的三点，且A,B连线经过坐标原点，若直线PA,PB的斜率乘积

kPAkPB，则该双曲线的离心率为

43．过双曲线2xy2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4, 则这样的直线有( )

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

x2y2

44．已知F1,F2分别是双曲线221(ab0)的两个焦点，A和B是以O(O为坐标原点)为圆心，|OF1|

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )

1 45．双曲线xy2的左、右焦点分别为F1、F2，点Pn(xn,yn)(n1,2,3）在其右支上，且满足

|Pn1F2||PnF1|,PF12F1F2，则P2010F2的值是

A．40202

B．40192

C．4020

D．4019

x2y2

47．已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线221(a0,b0)左支上一点，且满足PF1PF20,，

tanPF2F1

，则此双曲线的离心率为 3

．

( )

x2y2

1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直48．已知点F是双曲线2－2＝

线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A．(1，＋∞)

B．(1，2)

C．(1，1

D．(2，1

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微

维普资讯 http://www.cqvip.com

中学数学研究　

４０ｍ　深为３，８０，ｍ如果池底的造价为１０元／５　

２００６年第９期　

学生在以后的学习中自主探索，　题．个解决在　

断地发现问题——提出问题—— 思考问题—－　＿解决问题中养成独立思考、积极探究的学习习　惯，也使数学学习成为数学课程再开发的过程．　

参考文献　

［］通高中数学课程标准．民教育出版杜．０３　１普人２０年

４月．　

ｍ，　池壁的造价为１０元　．２问怎样设计水　池能使造价最低？最低总造价是多少元？学生 ” 　

的学习积极性一下子就调动起来，纷纷进行思　

考与探索，快得到函数解析式为￡４０Ｏ很＝２０Ｏ　

＋７０ｚ＋２（　

）但应用已有的数学知识不能，　

够解决，于是，如何解决成了学生迫切的需要，　激发了学生强烈的求知欲与浓厚的学习兴趣，　

为学习这一章作了铺垫．　

［］２郭其俊．学教育的归真返璞．数中学数学杂志，０４２０　

（）５．　

此外，在起始课的教学中还可以鼓励学生　

积极思考，疑反思、质主动提出问题．师引导　教

生坐坐坐坐坐坐坐生坐坐坐坐　ｅ业坐业业生坐坐坐

［］３陈伟丽，徐鸿斌．学史与学生学习兴趣的培养．　数中

学教研（学）２ｏ（）数，０４５．　

坐龆坐龆 · 　 · 蓝∈ · ｝ · · ｝坐蓝　∈ 蓝坐　｝· 　｝· ∈ 　　￡－　拓逝　

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质　

— —

兼证法探微　

（１０２　李建潮　３３１）

明参见本刊２００６年第３期Ｐ１）７．　

浙江湖州市双林中学

定义　以椭圆－＝１口＞６）１的　Ｉ－　（＞０（）　

“　Ｏ　

两个焦点Ｆ１一Ｃ０、（０（＝、口一ｂ）（，）Ｆ２　，）Ｃ／　　　及椭圆上任意一点Ｐ（不是长轴顶点）但为顶点　

类似地，在椭圆（）１中有如下对偶性质：　性质１椭圆（）　１的焦点三角形Ｆ１Ｆ　Ｐ２的顶点Ｆ１所对的旁切圆ｊｒ３轴的切点是椭　１与２

圆的顶点（图１．如）　

的△ＦＰ２叫做椭圆的焦点三角形；１Ｆ，　

一

２　

．２　

０　

以双曲线　一：ｌａ＞ｏｂ）２的两　　（，＞ｏ（）

“

证明仿照性质１．　

个焦点Ｆ１一Ｃ０、（，）Ｃ／　　及　（，）Ｆ２Ｃ０（＝、口＋ｂ）双曲线上任意一点Ｐ（但

不是双曲线顶点）为顶　

性质２在椭圆（）有ｔ　ｔ　＝　１中，ａｎａｎ　

［　，：　

１＋ｅ。　

点的△ＦＰ２叫做双曲线的焦点三危形（１Ｆ，由对　称性，本文姑且设Ｐ在双曲线的右支上）．　本文还约定：Ｆ１Ｆ＝口，Ｐ１：，　Ｐ２　ＦＦ２　　

Ｐ２＝７；圆（）＿Ｆ１Ｆ椭１与双曲线（）离心率　２的

证明　如图１设旁切圃，　

＇　

。　

Ｉ１的半径为　１连ｆＦ１／二　，１、／二　二＝，Ｆ和，Ｃ（为切点）则　１２１Ｃ　．

＇

为ｅ焦点三角形ＦＰ２的半周长、；１Ｆ面积及外　

接圆、内切圆半径分别为ｓａ及Ｒ、．、ｒ　以下研究椭圆与双曲线焦点三角形的若干　个对偶性质．　性质１双曲线（）　２的焦点三角形Ｆ】Ｆ　Ｐ２的内切圆与ｚ轴的切点是双曲线的顶点．证　（

ｌｆ　／ｔ￣　　￣（１，；ａ：－￣ｎ

一　

图１　

ｔｎ￣ＩＦＣ — 　ａ ·２

ａＣ以ｔ譬ａ２　　鱼　　　 — 所，ｔ＝十·　＝十　ａｎａＣ　口Ｃｎ　　ｌ－ｒ　

．

ｒ１＂

－　

１　· ３　

维普资讯 http://www.cqvip.com

２０年第９０６期　

＝

中学数学研究　

证明　如图４　，

１— 　 —ｅ

— — 　

１＋ｅ。　

① 由ｏＩ内切于△ Ｆ　，１　

／ ‘　　－

类似地，在双曲线（）２中有其对偶性质：　

得ＩＴＩ —ＩＦ２＝口一Ｃ　Ｐ＝ＳＦ１Ｉ；类似地，ＩＳＩ＝ａ＋ｃ　有　　＝ＳＰ．

② 、的证明从略； ③ 　

④ △ ＝ｓ　ｒ

搽　

性２栅　质　

苎二　

，ａ　有ｎｔｉ　８

ｅ＋１。　

＝

（＋）口ｃ切詈＝Ｅｎ等　口ｃ（一）ｎｂ切 —．

利用性质１并仿照性质２的证明可证．，　

由性质２及性质３得　，

性质３设Ｉ为椭圆（）　１的焦点三角形　Ｆ１ＦＰ２的内心，的延长线交Ｆ１　Ｆ２于Ｄ，则　

／　：Ｉ　Ｄｌｌ＝ｅ　证明　如图２由三角形　，内角平分线定理，有　：　

切ｎ　

推论２如图４在椭圆（）有ｔ　 · ，１中，ａｎ　

一：　

性质４在双曲线中的对偶性质是：　

二　＝＝

Ｄ　

图２　

主　

性质４设Ｉ、２分别为双曲线（）　１Ｉ２的焦　点三角形Ｆ１．　ＦＰ２的顶点Ｆ１Ｆ、２所对的旁切圆　的圆心（切圆Ｉ、２的半径分别为ｒ、２，旁１Ｉ１ｒ）　Ｐ

与ｏＪ、２别相切于Ｔ、则Ｆ１１ｏＪ分Ｓ，　 ① ＩＴＩ一口　Ｐ＝Ｃ，Ｉ５Ｉ＋口；　　＝ＣＰ　

Ｊ１Ｉ　ＦＰ一　

．　

ＩＤ　— Ｉ２Ｉ　Ｆ１Ｉ　Ｄ　’ Ｆ　

一

　 ±！一ＩＩ　！　

　Ｆ　Ｉ　２Ｆ１Ｉ　一２ ’ ｃ　

一ＩＩＩ　　）— Ｉ

．

Ｉ）一　Ｉ　ＩＩ

一ｌｌ　　一

推论１在椭圆（）有ｓ１中，ｍ詈≤ｅ当且（　

仅当Ｐ为椭圆短轴顶点时取“ 号）＝” ．　

证明点睛如图２ｓ　＝，．ｍ　 ≤　

②ｒ＝（一）ｔ　１ｃ口Ｏ鲁，ｏ

‘　

ｒｃ口ｏ；ｚ＋）ｔ　　（Ｏ号

③　＝　；　

＝ｅ性质３．（）　

在双曲线中，有对偶性质：　性质３设Ｉ双曲　１为　

线（）２的焦点三角形Ｆ１Ｆ　Ｆ２的顶点Ｆ１对的旁切圆的　所

圆心，１　的延长线交Ｆ　２１　Ｆ

④△＝Ｅｔ　ｂＯ詈．ｏ

④ 的证明点睛　 △ ＝（ — ＩＦ　）ｉＣＳ　２ｒ＝（　ＰＩ＋口）ｃ（一口）ｏ　＝ｂ￣ｔ２．ｏｔＥ　一～　由性质２及性质４③ ，　　又得　

Ｆ　、／Ｇ

图３　

于Ｄ，Ｉ１　：１＝ｅ　则　ＤＩＩ　．Ｉ　Ｉ

推　如图，双曲（中有ｔ嬖论２５在线２，ａ　）ｎ

Ｖ　

利用图３仿照性质３即可获证．，　

性质４设Ｉ为椭圆（）焦点三角形　　１的Ｆ１．２的内心，　为／　Ｐ２的顶点Ｐ所对　　ＦＰＩＸＦｒ．Ｆ的旁切圆的圆心（旁切圆　的半径为ｒ）Ｐ　ｐ，Ｆ１与ｏＩｏＩ、　分别相切于丁、则Ｓ，　（　ＴＩ　Ｉ＝口一ＣＩ，Ｉ，ｆ５＝口＋Ｃ　　　；

：ａｎ　ｔ

ｒｌ：ｒ２．　

性　椭（中有 ≤ｅ一）质５在圆１，蠢２１ｅ　）（．

证明可以参照以下对偶性质的证法．　

性质５　

ｅ　

在双曲纹（）中，２有　 ≤　

。　

②ｒ（一）ｎ　＝口ｃｎ　＝口ｃ切号，（＋）号；切

③　

）璺、二（二／　　

； ④△ ＝ｂｔｎ。．　ａ２　

证　性１得ｎ＝，明由质，切譬　　可

１４ · 　

维普资讯 http://www.cqvip.com

中学数学研究　

２０年第９０６期　

所以．　

Ｎ－＇　）－￣－

ｔｊａ以ｃ‘ ｔ（＋）ａＣ一，兰ａ璺一＝ｎ —．ｏ＝ｎ　　　＝　所ｔ＼／　　

１ｔ＋ｎｔ　ｔ　ａｆａＺ－２２ｎ　１ｔ　ｔ　一 · 　一　、ａａｎｎ土忐　

：

一

＿１　ｌ）

ｖ：ｉ　　

．

盎

　２（ｒ　ｒ　，ｃ＜ｒ　

Ｚ／所　　

，

其中 “ ”号成立当且仅当：　ｊ＝＝　－Ｔ　：

，

即　 √ ｂ　ｒ６　　．

而２＝Ｒ

』ｌ　＝（￣　　ｃａＳａｌｒＩｎ　ｔ

十

．　

最后说明两点．　

１性质的“ ．对倡性 ” 从本文的五　矬质哥，　

以号＋）是　（南．　　于

Ｒ　ｂ２一ｒ２

一

ｃ

椭圆与砹出线醵性质往譬　有某种 “ 偶性” 对．　发现了其中椭圆（或双盐线）的某一性贡，自然　

２＋　．　

２　

６２一ｒ２～４

￡　

一

ｂ２－一２ｒ　

会想象出在双曲线（或椭圆）中的对偶性质；　

２性质证明的“ 义化” 即利用定义证明．定．　

ｒ

　￡［二）　］ｂ２－ｒ２　（　 ± 一　

— —

Ｃ

２　

６（　｜　一４｜。２ｂ一，）。２　６一，）２，２ｂ（２｜ｂ　２

的方法是研究椭圆、曲线焦点三角形性质的　双

≥ ＋２ｅ＋詈　Ｃ　　

一一　

本质之所在和普遍规律．对偶性” 与“ 相呼应，　往往还使得性质的证明简明化、三角）式的应　（公

用通俗化．　

堡　± 竺二　（　　　）

２

口

—

１　

业业盘

’ 　

业盘业业盘业逝盘盘业业业盘盛盛　业业盘业盘盛业业　业业业坐　些誊　

业

关于双心四边形一个命题的补充　

西安交通大学附中　（１０８　张７０４）蚤　

峰　陕西省横山县教育局教研室　（１１０　高７９０）

文ｌｊ出：双心四边形ＡＢＤ中，其　１指在Ｃ若

证明　记Ａ１Ａ２＝１Ａ２　，Ａ３＝口，－　２．，

外接圆半径为Ｒ，面积为Ｓ，内切圆半径为ｒ，　

则　

≤ ｃｔ＋ｃｔ＋ｃｔ＋ｃｔ ≤　ｏ　ｏ　ｏ　ｏ　

Ａ，１　，＝１（１盘２＋ … 　＝口ｊ　口＋９

Ⅱ　ｒ∞ ｔ　

＋　

，么　　

ｌｒＯ＋－ｔｃ　

＋　ＯｔｒＣ　

．　

，　

（）１　

ａ２＝　ｏｔ　ｒｃ　

Ａ　３

笔者经研究发现，在双心　边形中也有　定理在双心边形Ａ１ …Ａ　Ａ２　中，若其　

‘

…

＋ …

外接圆半径为Ｒ，内切圆半径为ｒ面积为Ｓ　，，则有　

Ａ２

．　

ｒ　

＝。　ｏｔ

＋∞ ｔ　

Ｚ　，　

譬　ＥｃＡ＋ｔ２＋￣ｏ１∞Ａ一．ｔ　　　

２＜　ｚＲＡｎｌｒ２２

ｃ　Ｏｔ

ａ２　

ｒ　

Ａ２

ｃ　ｏｔ

＋ｃ　ｏｔ

Ｚ　

．　

Ａ３　

，

Ａ２　　

ｓ

ｓ２Ｋｉ　ｎ

（）２　

１ · ５　

圆锥曲线焦点弦的定点分比

维普资讯 http://www.cqvip.com

江苏省建湖高级中学　肖秉林　

定义　若过圆锥曲线焦点Ｆ的直线交圆锥曲线　

于Ａ、Ｂ两点，则线段ＡＢ称为圆锥曲线焦点弦，Ｆ分　

过程略．　

（２）设Ａ（　。，　），则由题意及“ 定理１ ” 得Ｆ分碹　

苔的比　称为圆锥曲线焦点弦的定点分比．　

解析几何中经常遇到，圆锥曲线的焦点分焦点弦　的定点分比的问题，这里分别给出抛物线、椭圆、双曲　线的一般结论．相关问题如有意识地运用焦点弦的定　

点分比公式解决，将来得简捷；以焦点弦的定点分比　为背景还可构造新题型．下面介绍圆锥曲线焦点弦的　

定点分比公式并例说其应用．　

舭÷ 一　一　～．　￣Ｅ　Ｅ４，９１　．可１ ≤　 ≤ 丢．　

・

．

，

。

易知，直线ｆ的方程为　一　得纵截距ｍ一一 —　．　

－』ｒ　ｌ

・。　

（　一１），令　。ｏ，　

１　抛物线焦点弦的定点分比公式及其应用　

定理１　设Ａ（　。，　。）为抛物线．ｙ　一２ｐｘ（ｐ＞０）　

卅一　

．

一４ｘｏ，’ｙｏ一 ±２　

－

．卅一一　

或　

－、２ｖｆＩ

－

，，　　

‘ 　

上一点，过焦点Ｆ的弦为ＡＢ，则Ｆ分Ａ百的比　

、一

２　０　

‘ 　

・・

＾一　

¨ 　ｆＪ）一　一击＋　１在　

，

证明：如图１，设Ｆ（要，ｏ），则直线　

∈［　１

・．．

ＡＢ的方程为　一 — — ＹＯ　（　号）　

ＸＯ　２　

一　・　

十号．　

。，　

图１　

一

｛］上递减，　导 ≤ 　 ≤ 　，或詈 ≤ 　 ≤ 一旦４．　于是，直线ｚ在　轴上截距的变化范围为［一号－，　

，　

．　

３］Ｕ［３４］

４

代入抛物线方程，整理得　

～

ｐ（　

例２如图２，过点Ｐ（一２，Ｏ）的　

Ｊ　Ｉ　

’

．

ＹＡｖ自一一Ｐ　．　

直线　与抛物线　。＝４ｘ交于两不同　点Ａ、Ｃ，过抛物线焦点Ｆ的直线　

～　

于是，Ｆ分　

＝　

一

的比　一　

一　

＝一　ＹＡ一一　

ＡＦ、ＣＦ分别交抛物线于点Ｂ、Ｄ，若　

Ｆ分　的比为　，Ｆ分茄的比为　

ｚ，

Ｏ　 ∥　

２ｐｘＡ　２ｘＡ　２ｘ。　

＝　

求　ｌ＋　２的取值范围．　

图２　

Ｐ　

Ｐ ‘ 　

解：设直线ｌ的方程为Ｙ＝是（ｚ＋２）

，代入．ｙ。一４ｘ，　

整理得ｋ　ｚ　＋４（走。　】）　＋４ｋ。一０．　

例１（２００４年高考全国卷ＩＩ）给定抛物线Ｃ：ｙ。　一４ｚ，Ｆ是Ｃ的焦点，过Ｆ的直线　与Ｃ相交于Ａ、Ｂ　

两点．　

由题意，得ｋ　

’ 　

＿１）。　。．　

（１）设　的斜率为１，求　与商夹角的大小；　（２）设葡一　，若　∈Ｅ４，９］，求２在　轴上截　

距的变化范围．　－ｆ解：（１）　与　夹角的大小为丌一　ｃｃｏ　３ — Ｊ　￣

一

解之，得Ｏ＜走　＜　１

．　

・

・・　　Ａ＋ＸＣ十一一一　一　广

．

， ’ Ｐ一一ｚ’ ２，　～＋ｘｃ一　

，　

．　

：一　

＋　

维普资讯 http://www.cqvip.com

＝４（去一１）＞４（２　１）＝４，　

ｂ　

。

．

＞６＞ｏ）上一点，则焦点Ｃ（Ｏ，ｃ）分焦点弦　

、一

的比　

ｂ。＋ｆ　－２ｃｙ０　

ｎ２　 ’ 　

．　１

＋　２ ∈（４，＋ｏ。）．　

＾　

２椭圆焦点弦的定点分比公式及其应用　

定理２　设Ａ（ＸＯ￣ｙｏ）为椭圆　Ｘ２十　＝＝＝１（盘＞６　

＞Ｏ）上一点，过焦点Ｆ　（一Ｃ，０）、Ｆ　（ｃ，Ｏ）的弦分别为　ＡＢ、ＡＣ，则　

于　

．　

一

＝　

５— ３，１　

一　

，　

”帅一Ｔ

’ 　Ｉ ≤２，　

・．．Ｉ　。Ｉ ≤２　．Ｉ　

・

．．　

Ｆ。分　的　

垒： ± 　二　坚！　

ｂ２　。　

一盟　垫

，

Ｆ。分　的　

∈［百１３］．　

，

ｙ２例４　设Ａ（ｘｏ，ｙｏ）为椭圆　ｘ２　Ｔ　 —

１（ｎ＞６＞Ｏ）　

一

证明：如图３，设Ｂ（ｚ。，　

Ｙ１）．　

Ｙ　

点，过焦点Ｆ　（一ｃ，０）、Ｆ　（Ｃ，０）的弦分别为ＡＢ、　

Ｊ　

（　。　）　

ＡＣ，求△ＡＢＣ的面积．　

’ －．惫仙一卑

的方程为　 —　

。

ｌ　ＩＴ

Ｃ　

　．直线ＡＢ　

（　

这个问题曾困扰笔者多年，　

一　

０　

ｙｏ　

十

ｃ

（　＋ｃ）．　图３　

ｆ．一（　ｏ＋ｃ）　— ｃｙｏ　

文［１］已给出了解法，现利用椭　／Ｄ　＼　／　圆焦点弦的定点分比公式，给出　ｆ（　＝＝＝　＝＝＝　个较为简捷的方法．　图４　解：如图４，设Ｆ　分Ａ直的　

一一

由Ｉ　 ——　

ｌ６　ｚ。＋ｎ　Ｙ

　一ａ　ｂ。　

（ｎ　＋　

・ ‘　

．

’ 得　

比为　

，Ｆ　分　

的比为　

，则　

Ｓ△ＡＢ　

Ｓ△ＡＦｌＦ　

２ｃｘｕ）　－２ｃｙ０（　ｏ＋ｃ）ｙ－－ｂ　Ｙ　一０．　

一　，　

１　Ｉ　ＡＢ　１．Ｉ　ＡＣｌ・ｓｉｎ　Ａ　

ＡＢ　

。　

Ｉ・Ｉ　ＡＦ　Ｉ・ｓｉｎ　Ａ　ＡＦ　ｌ　ｌ　ＡＦ。

Ｆ，Ｂ

八ｌ十，　

． ● 　ＡＦ一

，　

一Ｉ：（１十　＋　

、　 ’ 　

。　

一

．

Ｆ￣Ｃ）

一

．

。．Ｆ１分　眦　器一　ｏＹ　一Ｔａ２＋ｃ２＋２ＣＸｏ，　

的比　＝　．　

（１＋砉）（１＋　）．　

由定理２，得　

ｓ △ ＡＢｃ＝（１＋　）（１＋　）ｓ △ ＡＦ　Ｆ２　

同理，　廊

例３　（江苏省盐城市２００５届高三第二次调研考　题）已知点Ｃ（Ｏ，１），直线ｆ：Ｙ一４，Ｍ为动点，作ＭＮ　

上ｆ，垂足为Ｎ，且　

（　＋２　）．（　一２　）＝＝：ｏ．　

一

（１　＋　．二千　５２Ｆ　

・

）　（１　＋＿主　

）　

Ｓ△ＡＦ

．　

（１）问点Ｍ的轨迹是什么曲线，并求其方程；　（２）点０是坐标原点，Ａ、Ｂ两点在点Ｍ的轨迹　

・

。．

上，求满足　＋　醅一（１＋　）　的实数　的取值　

范围．　

一

Ｉ　。Ｉ・　署＋　

一　

害　．　

，　

’　．

２　

．．：　

解：（１）点Ｍ的轨迹是椭圆　＋　＝１，过程略．　

（２）・．．　＋　碚一（１＋　）　，　

．・．　一　一　

．

‘ 　

一

・

（　

一　

），　

・．．　

一

菌．　

一（（２　＋ｃ　）。一４ｃ　・　

甏厕　ｃ　

（下转第３Ｏ页）　

由（１）可知Ｃ（Ｏ，１）为椭圆的焦点，　

・．．

Ｉ　

．　

焦点Ｃ分焦点弦　的比Ａ　Ｃ—　

．　

一

　！

４ａ。ｃ２Ｙ　＋６　 ’ 　

２　２　

由定理２易知，若Ａ（ｘ。，Ｙｏ）为椭圆　ｘ　Ｔ　ｙ＝１（ｎ　

维普资讯 http://www.cqvip.com

陕西师范大学数学与信息科学学院２００３级教育硕士　岳建良　

ｌ已有推广的呈现　

对于２００４年全国高中数学联赛题中的向量题：　

ｐ＋ｑｔ－ｒ垄 ±窒 ±　

－

—

Ｐ　

、　

ｑ　

‘ 　

设。点在△ＡＢｃ内部，且有　＋２礴＋３　

＝０，则 △ＡＢＣ的面积与 △Ａ（）Ｃ的面积的比　为（　）．　

文［２］的推广结论为：　设０点在ＡＡＢＣ内部且有　

＋　＋ｒ）：　：／７／：ｒ．　

・　

十　・　

＋ｒ・０Ｃ＝０，则Ｓ △ 舢（　：ＳＡ　１Ｉ（・：ＳＡＯ０Ｂ：Ｓ △ …Ｂ一（ｍ　

Ａ．２　

Ｂ．昔　

Ｃ。３　

Ｄ． ÷　

０　

文［１］和文［２］均将其推广，但叙述稍有不同．为行文　方便，将其叙述分别摘录如下．　个实数，若　文［１］的推广为：　ｏ－－Ｘ＋　描十Ｐ　一０，　设０点在ＡＡＢＣ内部，且有声・　＋ｑ・魂　／、邶　被点Ｏ所分的三部分面积之比．　＋ｒ・（　一０（Ｐ，ｑ，ｒ ∈（０，＋ｏｏ）），则 △ＡＢＣ的面积与　试求Ｓ

ＡＡＯＢ、ＡＢＯＣ、ＡＡＯＣ的面积的比分别为　

（上接第２９页）　

文［１］和文［２］的证明思路是不同的，各具特色．　文Ｅ３］考虑了一个更一般的问题：　设Ｏ是ＡＡＢＣ所在平面上的一点，ｍ、／，／、Ｐ是三　

、　

这个问题中的点。未必在ＡＡＢＣ内，　、　、Ｐ不　

仅仅是正实数．但其求解过程因受特殊图形（图１）的　

Ａ（～ｃ，Ｏ）、Ｂ（ｃ，Ｏ），点Ｃ（ｚ　ｙｏ），则由ｌＡＢｌ一２　Ｉ　ＣＤＩ　

得２ｘ（）一ｃ．　

３双曲线焦点弦的定点分比公式及其应用　

定理３设Ａ（　。，　。）为双曲线　～　一１（口＞ｏ，　６＞０）上一点，过焦点Ｆ１（一ｃ，０）、Ｆ　（ｃ，０）的直线　

由定理３知，Ａ分　的比　

ｄ。＋ｃ。＋２ｃｘｕ

ｌ一一　

～　

ｎ。＋　＋　

一　

２ｅ。十１　

・

ＡＦ　、ＡＦ：与双曲线分别交于点Ｂ、Ｃ，则　

＋ｃｚ　＋２ｃｘｏＦ　分　的比为　：一ａ — ｚ

— — — —

．

’ Ｅ　

．

眦

，

Ｆ　分　的　

・．

Ａ分瑟眦　

２Ｐ　＋１

一　

一一　

，　

岫　。一一　

．　

＋１　

’ 　

一

一一

在“ 定理２ ” 的证明中，只要以一ｂ　代替ｂ　即　

得证．　

・

“ 　：＝＝Ｔ　一１－２　ｚ・　

．

．Ｐ２：　

１　＋２Ａ

一 —

＿一２３

例５（２０００年全国高考题）已知梯形ＡＢＣＤ中，　

．．　一『＝　一２在　 ∈ ［专，９　｝］上递

增，　

．．．７ ≤Ｐ　 ≤１ｏ，．－．Ｐ ∈［　，　［　．　

有兴趣的读者可完成下列定理的证明：　

Ｊ　ＡＢ　Ｊ：＝：２　Ｊ　ＣＤ　Ｊ，Ｅ分有向线段　所成的比为　，双曲　

线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点，且以Ａ、Ｂ为焦点，当号 ≤ 　 ≤ 亍　

时，求双曲线离心率　的取值范围．　解：如图５，以直线ＡＢ为　轴，　

Ｖ　

。　

定理４设Ａ（ｘ　Ｙ。）为焦点Ｆ在原点，对应准线　

是　’ 一－ｐ（ｐ＞Ｏ）的圆锥曲线上一点，则Ｆ分焦点弦　

＋ｐ的定点分比为　：一２２ｏ

＿Ｆ　

．　

线段ＡＢ的垂直平分线为Ｙ轴，建立　

直角坐标系　０　，由题意，Ｃ、Ｄ关于　

Ａ？　。　＼＼、曰　

图５　

Ｙ轴对称．　

参考文献　

１　肖秉林．过椭圆焦点的内接三角形的几个结论［Ｊ］．中学数　

学教学参考，２００５．ＩＯ　

设双曲线方程为　～　一ｌ（ｎ＞０，６＞０），焦点　

曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证

２００２年第５期数学通报２９

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证

陈永毅（杭州第二中学３１０００９）

文［１］指出了圆锥曲线焦点弦的一个有趣性

质，读了有所启发，李老师对圆锥曲线是椭圆、双曲由（１），（２）知：｛＿筹｝＝｝篇井．由三角形外

线、抛物线的情况分别给出了证明，由于证明较繁，角平分线定理知ＦＭ平分ＡＡＦＰ的么Ａ即外角．笔者经过探索发现点Ａ可以是圆锥曲线上任意点定理设过圆锥曲线焦点Ｆ作一直线与圆的情况，并给出它们的一个统一命题及其简证．锥曲线相交于Ｐ，Ｑ两点，Ａ为圆锥曲线上除Ｐ，Ｑ

引理设Ｆ为圆锥曲线焦点，其相应准线为外任一点，连结ＡＰ和ＡＱ分别交相应焦点Ｆ的准￡，作一直线交圆锥曲线于Ａ，Ｐ两点，交￡于Ｍ线Ｌ于Ｍ，Ⅳ两点，则么ＭＦＮ＝９０。．点，则ＦＭ平分ＡＡＦＰ的么Ａ即外角．证如图２，由引理知：

州平分ＡＡＦＱ的外

．证如图ｌ，从Ａ，ＰＡＡ‘

分别向Ｌ引垂线ＡＡｌ，ＰＰｌ角么ＧＦＱ；

垂足为Ａｌ，Ｐｌ，由圆锥曲线／，、潞ｙＰ肼

定义得：＼＼二乡么ＧＦＮ＝去么ＧＦＱ，同理ＡＦ１

ＡＡｌＩ一”图１么ＧＦＭ＝｛么ＧＦＰＩ朋Ｉ从而图２ＰＰ，Ｉ一¨

所以，篇＝篇２

（１）ＬＭＦＮｉ１（么伽＋么钟）＝９０Ｐ・

所以，篇＝湍Ｙ．ＮＹｇＡＡＡｌＭ。△ＰＰｌＭ，参考文献

ｌ李康海．圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质．数学通报，２００１，５

（２）

（上接３７页）显然有Ｚ’ｉ＝ｍｌ一２ｔｉｍ２（ｉ＝１，２，３，４）

设Ｍ（戈ｏ，Ｙｏ）为二阶曲线ｒ上的一个定点，

过肘任作两条互相垂直的弦ＭＰ，ＭＱ，则（１ｌ匕州。，＝等岩等岩

（Ｐ）Ａ（Ｑ），而（Ｚ７ＩＺ’２，Ｚ’３Ｚ７４）＝

且为对合对应，从而Ｐｐ通过一个定点．（一Ａｌ＋Ａ３）（一Ａ２＋Ａ４）（Ａｌ—Ａ３）（Ａ２一Ａ４）

证明先构造二阶曲线ｒ上射影对应．（一Ａ２＋Ａ３）（一Ａｌ＋Ａ４）一（Ａ２一Ａ３）（Ａｌ—Ａ４）设膨为ｒ上任一点，在以膨为中心的线束（肘）＝（Ｉｉｌ２，１３１４），

中，对任何直线ｚ∈（肘），使卜－Ｚ’，这里Ｚ上ｚ’则所以，保持交比不变．

（Ｚ）万（Ｚ’），又，显然这种对应是一一对应，所以是射影对

事实上，对（Ｍ）中任意四条直线ｌｌ，Ｚ２，ｚ３，Ｚ４，应，即（以）万（以），ｔ＿ＬＺ’ｉ，（ｉ＝１，２，３，４），

Ｉｉ—Ｚ７ｉ（ｉ＝１，２，３，４），若设Ｚｆ与ｒ的另一个交点为Ｐｉ，以与ｒ的另如上以（ｉ＝１，２，３，４）一个交点为Ｑｆ，则（Ｐｉ）丙（Ｑｆ）设ｍｌ，ｍ２为过Ｍ点的两条迷向直线，由拉格记为／：Ｐｉ—Ｑｆ，显然，为对合对应，由结论３尔（Ｌａｇｕｅｒｒｅ）定理可知．可知加通过一个定点．

（∥ｉ，ｍｌｍ２）＝一１（ｉ＝１，２，３，４），

不妨设参考文献

屯＝ｍｌ＋，）ｔｉｍ２１梅向明等编．高等几何．北京：高等教育出版社，１９８３万　方数据２张汉清．圆锥曲线的一个奇妙性质．数学通报。２００１，９：８

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证

作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次数：陈永毅杭州第二中学,310009数学通报BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS2002，""(5)7次

参考文献(1条)

1.李康海圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质[期刊论文]-数学通报 2001(05)

引证文献(6条)

1.张静一道高考题的反思——用平面向量来研究二次曲线的切线与割线[期刊论文]-数学通报 2008(2)

2.马德清圆锥曲线的一些性质[期刊论文]-数学通报 2004(12)

3.杜林会椭圆切线的几个性质及作法[期刊论文]-数学通报 2003(6)

4.李世臣.纪保存一个圆锥曲线引理的补正及其应用[期刊论文]-数学通报 2003(4)

5.陶守荣圆锥曲线焦点弦的两个性质[期刊论文]-中学数学研究 2002(8)

6.厉倩圆锥曲线焦半径的一个性质[期刊论文]-数学通报 2002(12)

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb200205013.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：90c1f841-8068-44bf-ac5c-9dc9008e39a6

下载时间：2010年8月5日

圆锥曲线的焦点弦长新解

张鹏举

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线

代入曲线方程，

化为关于x

的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式

求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于

求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用

这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。一. 椭圆的焦点弦长

若椭圆方程为设过

的直线的倾斜角为

，半焦距为，焦点

。

，

交椭圆于A、B两点，求弦长

解：连结

，设

，由椭圆定义得

，由余弦定理得

，整理可得

，同理可求得

，则弦长

。

同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：

（a为长半轴，b

二. 双曲线的焦点弦长

设双曲线过

的直线的倾斜角为

，其中两焦点坐标为

，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。

，

解：（1）当

点A、B在同一交点上，连得

时，（如图2）直线与双曲线的两个交，设，由余弦定理可得

，由双曲线定义可

整理可得

，同理

，则可求得弦长

。

（2

）当

A、B在两支上，连

或

，设

时，如图3，直线l与双曲线交点

，则

，

，由余弦定理可得

整理可得，则

因此焦点在x轴的焦点弦长为

同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式

其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，三. 抛物线的焦点弦长

为AB的倾斜角。

若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的

倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）

解：过A、B两点分别向x轴作垂线

为垂足，设

，

则点A的横坐标为，点B横坐标为

，由抛物线定义可得

即

则

同理的焦点弦长为

的焦点弦长为

，所以抛物线的焦点弦长为

由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。

推荐访问:双曲线焦点双曲线知识点双曲线焦点公式